06.28 高中數學函數與方程思想方法

一、函數與方程思想：

1、函數思想：

把問題中的量分為變量和常量，並把這些量用字母表示；將量與量之間的關係，抽象、概括為函數模型；用運動、變化和對應的觀點，通過對函數模型的研究，利用函數的性質，使問題獲得解決。

2、方程思想：

把問題中的量分為已知量和未知量，並把這些量用字母表示；將問題中的條件，量與量之間的關係列為方程或不等式；通過解方程、不等式，或利用方程、不等式的性質，使問題獲得解決。

二、判別式法

代數判別式 （△ 法）和

三角判別法 （δ 法），它們是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 和三角方程 asinx + bcosx = c 的根的判別定理。

其來源是二次函數 y = x^2 和三角函數 y = sinx 的值域 。

1、代數判別式法（△ 法）

設 f（x）= ax^2 + bx + c （a ≠ 0），則 △ = b^2 - 4ac 叫做二次方程 f（x）= 0 或二次函數 f（x）的判別式。

判別定理：實係數二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情況分類如下：

① △ ＞ 0 等價於 有兩個不相等的實數根；② △ = 0 等價於 有兩個相等的實數根；③ △ ＜ 0 等價於

有共軛二虛根 。

應用判別式 △ 解題的方法叫做 代數判別式法，簡記為 △ 法 。

2、三角判別法 （δ 法）

δ = a^2 + b^2 - c^2 叫作三角方程 asinx + bcosx = c （a^2 + b^2 ≠ 0）的判別式 。

判別定理：三角方程 asinx + bcosx = c （a^2 + b^2 ≠ 0）在 x ∈ R 上有解得情況分類如下：

① 有兩條解終邊 等價於 δ ＞ 0 ；② 有一條解終邊 等價於 δ = 0 ；③ 沒有實數解 等價於 δ ＜ 0 。

應用三角判別式 δ 或根據 ∣sinx∣≤ 1 , ∣cosx∣≤ 1 解題的方法叫做三角判別法（δ法）。

三、典型例題

例題1、設 a , b 滿足 ：① a , b ∈ N , ② （2 - 2i）x^2 - （5 + 3i）x + a^2 - b^2 i = 0 有實數根 。

求 a , b 的值 。

解：設已知方程的實數根為 k ，則有：

（2 - 2i）k^2 - （5 + 3i）k + a^2 - b^2 i = 0

等價於 （2k^2 - 5k + a^2）+ （-2k^2 - 3k - b^2）i = 0 ;

等價於 2k^2 - 5k + a^2 = 0 且 -2k^2 - 3k - b^2 = 0 ;

等價於 △1 = 25 - 8a^2 ≥ 0 且 △2 = 9 - 8b^2 ≥ 0 ;

等價於 a^2 ≤ 25/8 且 b^2 ≤ 9/8 。

∵ ① a , b ∈ N

∴ a = 1 , b = 1 。

例題2、已知 a + 2b + ab = 30 ， 且 a > 0 , b > 0 ，試求：實數 a, b 為何值時 ， ab 取得最大值 ？

解題思路：構造關於 a 的二次方程，應用 △a 法。

解：① 設 ab = y , ② 由 已知 a + 2b + ab = 30 ， ①②聯立消去 b ，對 a 整理得 ：

a^2 + ( y - 30 ) a + 2y = 0 ③ ；

△a = ( y - 30 ) ^2 - 4 × 2y ≥ 0 ;

等價於 y^2 - 68y + 900 ≥ 0

∴ y ≥ 50 或 y ≤ 18 由 y = ab < 30 , 捨去 y ≥ 50 ，得 y ≤ 18 。

把 y = 18 代入 ③ ，得 ：a = (30 - y ) ÷ 2 = 6 , 從而 b = 18 ÷ 6 = 3 。

∴ 當 a = 6 , b = 3 時 ， 取得 （ab）max = 18 。

例題3、求函數

的值域 。

解 ：原式 等價於 y ( x^2 + x + 1 ) = x^2 - x + 1 ;

等價於 ( y - 1 ) x^2 + ( y + 1 ) x + y - 1 = 0 ① ;

當 y ≠ 1 時 ， △x = (y + 1 ) ^2 - 4( y - 1 ) ^2 ≥ 0 解得 1/3 ≤ y ≤ 3 ( y ≠ 1) 。

當 y = 1 時 ， 方程 ① 化為 2x = 0 , 即 x = 0 , 故有 y = 1 。

綜上，函數的值域為 【1/3 , 3】。

例題4、求函數

的值域 。

解：原式等價於 y ( 1 - cosx） = sinx - 4cosx

將上式化為關於 sinx , cosx 的三角方程 ：

sinx + (y - 4 ) cosx = y

δx = 1^2 + (y - 4 )^2 - y^2 ≥ 0 ;

等價於 17 - 8y ≥ 0 ,

解得函數 y 的值域 ：（- ∞ ， 17/8 ] 。

例題5、求雙曲線

經過點 （-3,2）的切線方程 。

解題思路：

把雙曲線的參數方程代入切線的普通方程，構造三角方程，用三角判別法 。

解：設所求切線方程為 y - 2 = k ( x + 3 ) , ①

雙曲線的參數方程是

把 ② 代入 ① 得 ：

3 tanθ - 2 = k ( 4 secθ + 3 ) ;

整理，得 3 sinθ - ( 2 + 3k ) cosθ = 4k ③ ;

由相切 等價於 δ = 0 ， 即

3^2 + ( 2 + 3k )^2 - (4k)^2 = 0

解得 k = 1/7 ( 6 ± √127 ) ，

代入 ① ， 故所求切線方程為 ：

y - 2 = 1/7 ( 6 ± √127 ) ( x + 3 )