01.26 “成也熱學，敗也熱學”的傅里葉先生

數學家們從事的工作總是把那些看起來紛繁複雜的問題抽絲剝繭，轉化成我們可以方面處理的結果。或者是，他們創造一種方法，可以針對某一項複雜問題，可以去分析我們需要的一些性質。

數學家 泰勒

大家對泰勒公式應該都比較熟悉了，這個公式是用多項式的和來擬合任意一條已知或者未知的曲線。當我們把一個五花八門的函數用泰勒公式展開之後，它們清一色的都是按照次數從低到高的多項式排列著，你想近似計算，沒問題；你想證明不等式，也沒問題，你想做曲線擬合，毫無壓力。這樣通過對簡單的代數多項式的分析，最終來達到分析整個函數的目的。將複雜問題逐步細化，再逐步攻破的過程，正是無數數學家孜孜以求的不懈目標。

對於一般函數來說，有沒有別的展開辦法呢？不僅僅可以展開成代數多項式，比如對於那些有周期性的函數來說。答案當然是有的，19世紀就有人做了這樣的工作，現在傅里葉先生登場。

傅里葉

讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉，法國數學家，物理學家，在數學上最大的貢獻就是發現了傅里葉級數。傅里葉這個人對熱學有著極度的痴迷，1807年，傅里葉 向法國科學院《熱的傳導》這篇論文，論文裡傅里葉先生首次提出，任何函數都可以分解成三角函數的無窮級數形式。

為什麼要用三角級數來對函數進行展開？說到週期函數，大家最熟悉的是什麼？當然是sinx,cosx啊。這兩個函數有個非常難能可貴的性質：第一，它們的週期很容易確定。第二，它們的導數，原函數都是在彼此之間來回轉換，不會出現什麼別的形式，這也就是為什麼那麼微分方程的解到最後都是含有這樣兩個三角函數形式的原因，這在數學上有個很專業的詞，叫本徵值。第二，它們的週期很容易確定。

自然界的幾乎所有信號，都可以看作是無窮多個三角函數信號的疊加，有基波，二次諧波，三次諧波等等。我們可以用幾個簡單的諧波去構造出一個幾乎完整的信號，雖然這個信號不完美，但是也可以達到我們的精度要求了。

不同次數諧波傅里葉級數與真實函數的逼近程度

傅里葉發現的公式是

傅里葉級數公式

暫且不去探討這個式子是怎麼誕生的，如果要深究這個式子誕生成立的全部原因，那麼這篇文章就跟高數教材無異了。只從幾個方面來說明一下這個公式巨大的意義。

這個公式讓我們意識到，任何信號，我們聽到的，看到的任何信號，都是一段有周期或者沒有周期的波形，我們也都可以用三角函數的級數和來接近這個波形。即使我們沒有辦法做到無窮級數形式，我們也可以高度近似地接近這個實體的信號，直到我們模擬的波形達到要求為止。

拉格朗日——高數中最恐怖的名字

按道理說傅里葉提出的這個級數形式，有著很大的歷史意義，我們找到了一種全新的方式來分解函數，之前只能是代數多項式，現在可以用三角級數了。但是，1807年，負責評審傅里葉論文的三位導師們卻被反對通過，這三位也都是數學大師，拉格朗日，拉普拉斯，勒讓德，他們姓氏的首字母都是L，所以他們又合稱法國數學界3L。其中拉格朗日的理由最為有趣，他認為，正弦級數沒辦法去合成一個帶稜角的信號。

三角級數逐步逼近方波信號

那個時候，我們又不能用計算機去擬合曲線，更加不能用手算的方式去合成。後來人們驚奇地發現，拉格朗日和傅里葉都是對的，因為現在早已證實，假如只用有限多個三角級數的確沒辦法做到產生絕對有稜角的信號。但是理論上傅里葉給出的是無窮多個三角級數的形式啊，假如我們願意一直去擬合，那麼就會無窮接近那個帶稜角的信號，在這一點上，傅里葉明顯更加正確。

如果傅里葉級數僅僅是在計算上的作用，可能也不會在信號分析領域有如此大的影響。後來誕生了傅里葉變換。基於下面的公式，有正變換，逆變換。

傅里葉變換公式

正變換裡，等式右邊是時間t，左邊卻變成了頻率ω，這是兩個概念，怎麼可以放在一起比較呢？

這正是傅里葉變換的精髓所在，時域到頻域的變換。什麼叫時域，我們經歷過的任何事件都是與時間相關的，今天我要去哪兒，那趟車什麼時候走，我在路上要花費多久？無不與時間相關，然而，我們若是想把這些事情記錄下來，卻很困難，但是若通過某種算法，把時域轉換成頻域信號，計算機處理起來就容易多了，它可以先用最簡單的正弦波信號逐步疊加，並最終模擬還原出原始的信號。

時域到頻域的轉換

針對於時域到頻域的轉換，我們可以在很多方面都有重要應用，在圖像降噪方面，聲音處理方面，電工學的濾波處理方面等等。實際上，用最簡單的正弦級數的適當組合就可以組成任何連續的函數，這一點很像是化學裡原子的構造，構成這個世界的基本元素本來就很簡單，是組合的規則才讓它們無所不能。

傅里葉變換應用——圖像處理

傅里葉級數，當初只是傅里葉在做熱分析時給出的一套方法，卻放之四海而皆準。1822年，傅里葉出版了專著《熱的解析理論》，在此書中，三角級數的理論得到更加完善的成果。同年，傅里葉當選為法國科學家終身秘書。

然而傅里葉是成也熱學，敗也熱學。晚年時期，傅先生對熱學極度痴迷，甚至到了認為溫度可以治療一切疾病的地步。1830年的夏天，傅先生病了，也不去看醫生，在家裡封鎖門窗，裹上被子，企圖用他的熱學理論來驅趕病魔，結果，熱學沒有為他驅走病魔，卻把傅先生本人給帶走了。於是5月16日，傅先生卒。