2018年哈爾濱中考數學壓軸題解析
題目:
這道題考查菱形的性質和等邊三角形的性質、三角形全等的判定和性質以及勾股定理。本題主要是動點的確定及圖形的構造。
(1)藉助直線BC的解析式，分別令x=0，y=0得到點B，C的座標，所以線段OC、OB可知，由勾股定理解得線段BC的長度，進而結合菱形的性質得到線段AO的長度，從而得到點A的座標。
(2)由題可得三角形△ABC是等邊三角形，所以∠CAB=∠ABC=60°，即∠FBC+∠ABP=60°，題中已知∠APB=60°，所以在△APB中，∠EAC+∠ABP=60°那麼∠FBC=∠EAC，連接CE，CF，證明△ACE≌△BCF，也是常見的旋轉型全等。
連接CE,CF
∵AO=BO,CO⊥AB
∴AC=BC=7
∴AB=AC=BC
∴△ABC為等邊三角形，∠CAB=60°
∵∠APB=60°
∴∠EAC+∠ABP=60°
又∵∠FBC+∠ABP=60°
∴∠FBC=∠EAC
又∵AE=BF
∴△ACE≌△BCF(SAS)
根據邊、角的關係得到等邊△CEF，EF=CF,∠CFE=60°，
題中已知∠AFE=30°，可知△ACF是直角三角形，根據勾股定理可得AF²+EF²=AC²
（3）由題意可作圖如下:
根據作完的圖形可猜想△APF是等邊三角形，△CPF是含有30°的直角三角形。若猜想成立，則∠CPF=∠AFP=60°，從關係上看屬於內錯角關係，那麼努力方向就是證明兩直線平行。
連接CP，延長CE、FA交於點Q，已知PE=AE,在△EFQ中，藉助外角可得∠Q=30°，等角對等邊，則EQ=EF，所以可得EQ=EC，此法根據SAS構造△CPE≌△QAE,目的得到角相等，證明CP∥QF。
通過上述準備工作，構造旋轉型全等，在BP上截取BM=AP，根據SAS可以證明△ACP≌△BCM，
由全等可知CP=CM，∠ACP=∠BCM,可解得∠PCM=60°，進而證明△CPM是等邊三角形。所以∠CPM=60°
在CP∥QF，∠CPM=60°的前提下，可證明∠PFA=60°，題中已知∠APB=60°，可以證明△APF是等邊三角形。點E是AP的中點，AE為AP的一半，而AP=BM且AE=BF，所以點F是BM的中點。在AP=FP的前提下，可證明點M是線段FP的中點。
等邊△APF,點M是線段PF的中點，根據"三線合一"，可證推出△ABM是直角三角形，根據勾股定理可得AM、BP的長，所以sin∠ABM的值可求。
過點P作PN垂直於x軸，那麼在Rt△PBN和Rt△ABM中，sin∠PBN與sin∠ABM的值相等，即可解出PN的長，也就是點P的縱座標。再由勾股定理可解得BN的長度，進而得出ON的長，所以點P的座標可解。
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