量子的腳步很快就走進了1925年。這一年，奧地利物理學家薛定諤（Schrödinger，1887年-1961年）受德拜之邀在蘇黎世作了一個介紹德布羅意“物質波”的演講。在這場報告上，德拜的一個問題點醒了薛定諤。1926年，著名的薛定諤方程便橫空出世了！
撰文 | 張天蓉
奧地利在我們眼中是一個音樂的國度，維也納更是著名的音樂之鄉，是“音樂之聲”遍地流淌的地方！並且，論起科學來，奧地利也是毫不遜色的人才輩出之地。仔細算一算的話，奧地利的著名物理學家還真不少！
上一篇中介紹的泡利是在奧地利維也納出生的，他是年輕的量子達人。1925年薛定諤作報告時，泡利才25歲。薛定諤也誕生於維也納，比泡利大13歲，所以當時已經可算是老前輩了。
在薛定諤之前，還有以多普勒效應聞名的多普勒、著名的哲學家兼物理學家馬赫、研究統計物理的玻爾茲曼、原子物理學家中的著名女將邁特納等等，加上後來的人物，列起名字來有一大串，其中也不乏諾貝爾獎得主。
如果不限於物理學家，擴大到其它學科，就更多了，例如：遺傳之父孟德爾。
愛因斯坦勤點撥 風流才子遇機會
薛定諤1906年到1910年在維也納大學物理系學習，在那兒完成了他的大學學位，並度過了早期的科學研究生涯。維也納大學是玻爾茲曼（Boltzmann ，1844年－1906年）畢生工作之處，因此，薛定諤受玻爾茲曼科學思想的影響頗深，早年從事的研究工作便是氣體分子運動論和統計力學方面的課題，他曾深入地研究過連續物質物理學中的本徵值問題。
1921年，薛定諤受聘到瑞士蘇黎世大學任數學物理教授，繼續研究與氣體分子運動論相關的問題。
正在這個時候，玻色與愛因斯坦提出了一種簡併氣體的新的統計方法。因而，薛定諤的工作也引起愛因斯坦的興趣。開始，薛定諤對玻色—愛因斯坦統計的思想很不理解，特地寫信給愛因斯坦，與他進行討論。之後幾年間，雙方有多次信件來往，因此可以說愛因斯坦是薛定諤的直接引路人。
1924年，薛定諤寫了一篇有關氣體簡併與平均自由程的文章，詳細評述了理想氣體熵的計算問題。愛因斯坦對薛定諤的文章作了高度評價並將德布羅意波的想法介紹給薛定諤：“一個物質粒子或物質粒子系可以怎樣同一個（標量）波場相對應，德布羅意先生已在一篇很值得注意的論文中提出了。”之後，薛定諤曾回信表示自己“懷著極大的興趣拜讀了德布羅意的獨創性的論文，並且終於掌握了它”。
後來，才有了我們本篇開頭所言之事：薛定諤在蘇黎世作介紹德布羅意波的演講。
當時，薛定諤的精彩報告激起了聽眾的極大興趣，也使薛定諤自己開始思考如何建立一個微分方程來描述這種“物質波”。因為當時作為會議主持人的德拜教授就問過薛定諤：“物質微粒既然是波，那有沒有波動方程？”薛定諤明白這的確是個問題，也是自己的一個大好機會！薛定諤想，這個波動方程一旦被建立起來，首先可以應用於原子中的電子上，結合玻爾的原子模型，描述氫原子內部電子的物理行為，解釋索末菲模型的精細結構。
就這樣，薛定諤綜合玻色、愛因斯坦、德布羅意的思想，首先將自己原來氣體理論的研究工作做了一個總結，於1925年12月15日發表了一篇題為《論愛因斯坦的氣體理論》的文章。這篇文章中，薛定諤充分運用了德布羅意的理論，將它用來研究自由粒子的運動。顯而易見，這個工作的下一步，便是將德布羅意的理論用來研究最簡單的束縛態粒子，即氫原子中的電子。然而，那不是像自由粒子運動那麼簡單了，薛定諤明白，首要任務是要建立一個方程！
不過，這時候到了聖誕節的假期，風流倜儻的薛定諤正好碰見了一位早期交往過的神秘女友，兩人舊情復發，相約去到白雪皚皚的阿爾卑斯山上度假數月。
風流才子果然名不虛傳，物理研究十分重要，情人約會也必不可少。沒料到美麗的愛情居然大大激發了薛定諤的科學靈感，著名的薛定諤方程橫空出世！
波動方程顯威力 原子模型得解釋
在1926年的1月、2月、5月、6月，薛定諤接連發表了4篇論文。實際上，在3月和4月也穿插發表了兩篇相關的重要文章。這一連串射出並爆炸的6發“炮彈”，正式宣告了波動力學的誕生。
第一篇（1月）論文《量子化是本徵值問題I》，將量子化的實質歸結於數學上的本徵值問題。薛定諤在大學期間深入研究過的連續介質本徵值問題，在這兒派上了用場。原來所謂“玻爾—索末菲量子化條件”，並不是什麼需要人為規定的東西，而實際上是求解勢阱中本徵值問題自然得到的結論。根據這個思想，薛定諤建立了氫原子的定態薛定諤方程並求解，給出氫原子中電子的能級公式，計算氫原子的譜線，得到了與玻爾模型及實驗符合得很好的結果。
第二篇（2月）論文《量子化是本徵值問題II》，從含時的哈密頓—雅克比方程出發，建立一般的薛定諤方程，討論了方程的求解，並從經典力學和幾何光學的類比及物理光學到幾何光學過渡的角度，闡述了他建立波動力學的思想，解釋了波函數的物理意義。
當年的薛定諤，探求描述電子波粒二象性的動力學方程，自然首先到經典物理中尋找對應物。電子作為經典粒子，是用牛頓定律來描述的，如何描述它的波動性呢？考察經典力學理論，除了用牛頓力學方程表述之外，還有另外幾種等效的表述方式，它們可以互相轉換，都能等效地描述經典力學。這些經典描述中，哈密頓-雅可比方程是離波動最接近的。當初，哈密頓和雅可比提出這個方程，就是為了將力學與光學作類比。
圖1. 薛定諤方程的導出
3月的文章《微觀力學到宏觀力學》，闡明量子力學與牛頓力學之間的聯繫。
4月的文章《論海森伯、波恩、約當量子力學和薛定諤量子力學的關係》，從特例出發，證明矩陣力學與波動力學可以相互變換。
5月、6月的兩篇文章，分別建立定態及含時的微擾理論及其應用。
總結歸納一下薛定諤方程的建立過程，有如下幾個要點：
- 定態問題就是求解一定邊界條件下的本徵方程，以此來計算原子中電子的能級；
- 經典力學的哈密頓—雅克比方程，不但可以描述粒子的運動，也可以用來描述光波的傳播，可以將其推廣而建立電子的量子波動方程；
- 根據德布羅意位相波理論，電子可以看成一種波，反映其粒子性的動量、能量與其相應的波的波長、頻率的關係，由德布羅意—愛因斯坦公式給出。
薛定諤綜合這些要點，導出了薛定諤方程，其中關鍵思想是來自於德布羅意物質波的啟示，其間愛因斯坦起了重要作用，因此人們認為，愛因斯坦是波動力學的主要“推手”。
複數加算符 量子之要素
比較一下圖1右上和右下公式中的薛定諤方程和哈密頓-雅可比方程，可以看出經典力學是量子力學的“零波長極限”，實際上也就是當普朗克常數h趨於0時候的極限。普朗克常數h在這兒又出現了，正如之前所說的，它是量子的標誌。
薛定諤方程和哈密頓-雅可比方程都是偏微分方程，公式中將時間的偏導數明顯地寫成了時間微分算符的形式。經典方程中的算符是(∂/ ∂t)，薛定諤方程中的算符中則多了一個乘法因子（-iħ），是虛數i和約化普朗克常數ħ（=h/2π）的乘積。這兒h表徵量子，h數值很小，因而薛定諤方程只在微觀世界才有意義。虛數i，則代表了波動的性質，對波動而言，每一個點的“運動”不但有振幅，還有相位。相位便會將複數的概念牽扯進來。
因此，薛定諤方程將普朗克常數、複數、還有算符結合一起，這三者構成新量子論之數學要素。算符對量子尤其重要，因為在量子理論中，粒子的軌道概念失去了意義，原來的經典物理量均被表示為算符。
什麼是算符？算符即運算符號，並不神秘，實際上，一般的函數和變量，都可以算是算符，矩陣是不對易的算符的例子，上文中所示的 (∂/ ∂t)，是大家所熟悉的微分算符，也就是微分。微分算符通常作用在函數上，將一個函數作微分變成另一個函數。量子力學中的微分算符作用在系統的量子態（波函數）上，將一個量子態變成另一個量子態。
下面的表中列出了一部分常見的量子微分算符：
從算符的角度看，薛定諤方程看起來只是個簡單的恆等式：左邊是算符 (iħ∂/ ∂t) 作用在波函數上，右邊等於算符H作用於同一波函數上。能量算符H描述系統的能量，在具體條件下有其具體的表達式。一般來說，量子系統的能量表達式可以從它所對應的經典系統的能量公式得到，只需要將對應的物理量代之以相應的算符就可以了。比如說，一個經典粒子的總能量可以表示成動能與勢能之和：
E =p2/2m + V
將總能量表達式中的動量p及勢能V，代之以相應的量子算符，就可得到這個粒子（系統）對應的量子力學能量算符。然後，將此總能量算符表達式作用在電子的波函數上，一個單電子的薛定諤方程便可以被寫成如下具體形式：
上述薛定諤方程是“非相對論”的，因為我們是從粒子“非相對論”的能量動量關係出發得到了它。所以，薛定諤方程有一個不足之處：它沒有將狹義相對論的思想包括進去，因而只能用於非相對論的電子，也就是隻適用於電子運動速度遠小於光速時的情形。考慮相對論，粒子的總能量關係式應該是：
E2 = p2c2 + m2c4
薛定諤曾經試圖用上述相對論總能量公式來構建方程。但因為其左邊是E的平方，相應的算符便包含對時間的2階偏導，這樣構成的方程實際上就是後來的克萊因-高登方程。但是，薛定諤從如此建造的方程中，沒有得到令人滿意的結果，還帶給人們所謂負數幾率的困惑。之後，狄拉克解決了這個問題，此是後話。
薛定諤的貓 弄拙反成巧
薛定諤方程是薛定諤對量子力學的最大貢獻，但廣大民眾知道薛定諤的名字，或許是由於一部有關他的舞臺浪漫喜劇《薛定諤的女朋友》，也可能是因為許多量子力學科普讀物中經常描述的“薛定諤的貓”！
薛定諤的貓，是薛定諤1935年在一篇論文中提出的一個佯謬，也被稱為“薛定諤佯謬”，實際上，是一個思想實驗。
薛定諤1926年創立了薛定諤方程，成功地解出了氫原子的波函數，這是一個十分難得非常美妙的解析解！比玻爾模型更為精確地解釋了實驗中得到的光譜數據及精細結構常數的意義等等。雖然再要找其它更多的解析解就難之又難，但對氫原子的成功，使人們相信新量子論，即量子力學的正確性。
電子既是粒子，又是波。粒子的運動規律用牛頓定律描述，“粒子波”的運動規律用薛定諤方程描述。牛頓方程的解：x(t)，是空間位置x隨時間變化的一條曲線，顯示粒子在空間運動的軌道。薛定諤方程的解：ψ(x,t)，是一個空間及時間的複數函數“波函數”。牛頓經典軌道x(t)只是一條線，量子波函數解 ψ(x,t) 卻瀰漫於整個空間。粒子軌道的概念容易被人接受，但對波函數的解釋卻眾說紛紜。
因此，儘管有了波函數，對它的解釋卻成了問題。薛定諤自己曾經想把它解釋為電荷的分佈函數，這個想法，連他自己都覺得不現實。
在對量子論的態度上，薛定諤與普朗克和愛因斯坦有類似之處，他們都是量子思想的奠基者，但又是被經典哲學牢牢捆住的“老頑固”。革命的科學精神引領他們不停地披荊斬棘開墾處女地，而開墾地上長出來的果實又狠狠地給他們腦袋重重一擊！將腦海中許多固有的經典觀念敲得咚咚響。
薛定諤在愛氏祖師爺的推動下建立了波動力學解出了波函數，反過頭來卻不知其為何物，即便有玻恩玻爾等提出概率解釋、“哥本哈根詮釋”等等，他們卻接受不了。微觀疊加態的特點與宏觀規律是如此不同，物理學家如薛定諤也想不通。於是，薛定諤在1935年發表了一篇論文，題為《量子力學的現狀》。
在論文的第5節，薛定諤便設計了一個思想實驗，在這個試驗中，他把量子力學中的反直觀效果轉嫁到日常生活中的事物上來，試圖將微觀不確定性變為宏觀不確定性，微觀的迷惑變為宏觀的佯謬，也就是說，將微觀世界中疊加態的概念轉嫁到“貓”的身上，如此而導致一個荒謬的結論：一隻現實世界中不可能存在的“又死又活”的可怖的貓！
薛定諤想以此來嘲笑玻爾等對量子物理的統計解釋，但反而向大眾科普了量子論的基本思想及哥本哈根詮釋。按照量子理論：如果沒有揭開蓋子，進行觀察，薛定諤的貓的狀態是“死”與“活”的疊加。此貓將永遠處於同時是死又是活的疊加態。這與我們的日常經驗嚴重相違。一隻貓，要麼死，要麼活，怎麼可能不死不活，半死半活呢？這個聽起來似乎荒謬的物理理想實驗，卻描述了微觀世界的真實現象。它不僅在物理學方面極具意義，在哲學方面也引申了很多的思考。
這隻貓的確令人毛骨悚然，使得相關的爭論一直持續到今天。連當今偉大的物理學家霍金也曾經憤憤地說：“當我聽說薛定諤的貓的時候，我就想跑去拿槍，乾脆一槍把貓打死！”
在宏觀世界中，既死又活的貓不可能存在，但許多許多實驗都已經證實了微觀世界中疊加態的存在，以及被測量時疊加態的坍縮。通過薛定諤的貓，人們認識到微觀現象與宏觀之不同，微觀疊加態的存在，是量子力學最大的奧秘，是量子現象給人以神秘感的根源，是我們瞭解量子力學的關鍵。
出版“生命是什麼” 跨界物理和生物
薛定諤還寫過一本生物學方面的書和許多科普文章。1944年，他出版了《生命是什麼》一書。此書中薛定諤自己發展了分子生物學，提出了負熵的概念，他想通過物理的語言來描述生物學中的課題。之後發現了DNA雙螺旋結構的瓦森（James D. Watson）與克里克（Francis Crick），都表示曾經深受薛定諤這本書的影響。
科學界有一句玩笑話，說在物理學家看來，所有的問題都是物理學的問題。事實上，這句話也不是沒有道理，物理學是研究大自然基本規律的科學，大自然包括了萬物。既然生命體系是大自然的一部分，那就當然也逃不掉最基本的物理定律。
薛定諤是一位物理學家。他也希望從物理學的角度去理解生命是什麼，認為物理學能夠對理解生命的本質提供獨特的啟發。
在薛定諤的時代，科學家還沒有完全理解遺傳的物質基礎是什麼。當時的技術條件僅僅能識別染色體，人們還不知道DNA的內部組成成分，不知道遺傳物質是核酸。但薛定諤覺得，物理學的研究方法一定能對理解生命的本質有幫助。所以他寫了那本書，果然影響了後人對DNA的發現，之後也促進了物理生物學的發展，至今也還有一定的意義。
薛定諤在書中還提出了另一個“負熵”的革命性觀點。熱力學第二定律認為熵增是一個自發的由有序向無序發展的過程，最終將歸於熱寂。然而，生命現象卻能夠生生不息，不斷地做到從無序到有序。當時薛定諤的觀點是，生命體處於一個開放狀態下，不斷地從環境中汲取“負熵”，使得有機體能成功地消除了當它自身活著的時候產生的熵。
普利高津後來提出了“耗散結構”，試圖解釋無序如何能達到有序，目前，這些仍然是熱門的研究課題。未來的生命科學，將和物理、化學、工程等結合交叉在一起，實現薛定諤的願望。
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