1. 歐拉恆等式
這是一個非常著名的恆等式。它給出了3個看似隨機的量之間的聯繫：π、e和-1的平方根。許多人認為這是數學中最漂亮的公式。
一個更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。當x=π，cosx取值為-1，而isinx取值為0。由-1+1=0，我們得到了歐拉恆等式。
2. 歐拉乘積公式
等式左邊的符號是無窮求和，而右邊的符號則是無窮乘積。這個公式也是歐拉首先發現的。它聯繫了出現在等式左邊的自然數（如n=1，2，3，4，5等等）與出現在等式右邊的素數（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我們可以選取s為任意大於1的數，並保證等式成立。
歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數最常見的一種表示形式。
3. 高斯積分
函數e^(-x²)本身在積分中是很難對付的。可是當我們對它在整個實數軸上積分，也就是說從負 無窮到正無窮時，我們卻得到了一個十分乾淨的答案。至於為什麼曲線下面的面積是π的平方根，這可不是一眼就能看出來的。
由於這個公式代表了正態分佈，它在統計中也十分重要。
4. 連續統的基數
上面的公式說明了實數集的基數與自然數全體子集的基數相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是，這也說明了連續統是不可數，因為2^N > N。
一個相關的假設是連續統假設。這個假設是說，在N和R之間不存在其它的基數。有趣的是，這個假設有一個奇怪的性質：它既不能被證明也不能被證偽。
5.階乘函數的解析延拓
階乘函數通常被定義為n!=n(n-1)(n-2)……1。但是這個定義只對n是正整數時有效，而上面積分方程則對分數和小數也有效，而且還可以用於負數、複數等等……
同樣的積分式中我們把n換成n-1就定義了伽馬函數。
6. 卡爾丹三次方程的解
這也是用了很久時間呢，虛數的作用也是從此中發現。
7. 斐波那契數列的通項
這裡，注意到φ這個數字是黃金分割比例。很多人可能聽說過斐波那契數列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，數列中每一項是前兩項的和），卻很少人知道有一個公式能夠計算出任意某一項斐波那契數：這就是上面我們給出的公式，公式裡面F(n)代表第n個斐波那契數。也就是說，為了得到第100個斐波那契數，你不需要去計算前99個，而只需要把100代入公式
值得注意的是，即便在計算過程中出現了許多根號和除法，最後的答案總是一個精確的正整數。
8. 巴塞爾問題
這個公式告訴我們，如果你取所有完全平方數並將它們的倒數和相加，你將會得到\\pi^2/6。這是歐拉首先證明的。注意到這個式子只是在前面的第二個方程（歐拉乘積公式）中令s=2。後者是黎曼ζ方程，因此我們可以說ζ(2)的值是π²/6。
9. 調和級數
這個公式有點反直覺，因為它告訴我們，如果你把一些不斷變小的數（最終趨向0）加起來，最後將會得到無窮。可是如果你是取它們的平方，和卻是一個有限的值（答案是π²/6）。如果仔細觀察調和級數，你會發現它正是ζ(1)。
10. 素數計數公式的顯式表達
這個方程的重要性體現在：
素數是那些除了1和它本身以外沒有其它因子的數。小於100的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素數的出現沒有顯然的規律：對於一串連續正整數，有時候你會找到許多素數，有時候你會一個也找不到。找到很多或一個找不到似乎是完全隨機的。
很長時間以來，數學家都在嘗試給出素數分佈的規律。上面的公式正是不大於一個給定數素數個數的顯式表達。
以下是各個符號的意義：
π(x): 素數計數函數。它給出了不大於一個給定數的素數個數。例如，π(6)=3，因為有3個素數不大於6：2，3，5。
μ(n): 莫比烏斯函數。它依據n的質因數分解而取值為0， -1或1。
Li(x): 對數積分函數。它被定義為函數1/lnt從0到x的積分。
ρ: 黎曼ζ函數的任意非平凡零點。
令人吃驚的是，整個公式的結果總是一個精確的正整數！這說明，給定一個實數，我們可以把它代入公式並得到不大於它的素數個數。存在著這樣一個公式的事實說明，素數的分佈存在某些規律，只是我們現在還不能理解罷了。
11.勾股定理
勾股定理指的是，直角三角形的斜邊的平方等於它的兩條直角邊的平方和。你會在初中接觸到它。
勾股定理常被認為是畢達哥拉斯先發現的，但是現在關於誰是勾股定理的首個發現者還沒有定論。也許古巴比倫人比畢達哥拉斯早1000年就領悟了勾股定理。
勾股定理是幾何學的核心，它也是代數，還有三角學的基礎。該公式對於測繪、製圖、導航來說不可或缺。全球定位系統（GPS）就離不開勾股定理。
12.對數方程
利用對數方程可以把乘法變為加法。你大概會在高一接觸它。
對數方程最初是由蘇格蘭的一個地主約翰•納皮爾（John Napier）在對大數進行乘法運算時發現的。納皮爾你家是有多少地？
對數是革命性的，它讓繁瑣的計算變得更方便快捷。在計算機出現前，工程師和天文學家靠這個方程讓計算更快更準確。當然，計算機的出現讓該對數方程遜色了不少，但是對於科學家來說對數方程仍然很重要。
對數方程還有相關的指數方程被用來進行數學建模，比如生物的生長，還有放射性衰變。
13.微積分
微積分是計算瞬時變化量的數學工具。比如，物體運動的速度就可以用微積分來解決。你大概要在高中學習微積分的初級知識。
17世紀末，微積分由艾薩克•牛頓（Isaac Newton）和戈特弗裡德•萊布尼茨（Gottfried Leibniz）在同一時期發現。至於誰先發現，誰又剽竊了誰，很長時間裡兩人爭論不休，所以現在我們乾脆說微積分是他倆發明的。
斯圖爾特認為，“微積分創造了現代世界”。微積分是測量線、面、體的關鍵。它也是許多自然法則的基礎，也是微分方程的來源。
任何一個需要得出最優解的數學問題都涉及微積分。微積分是醫學、經濟學、物理學、工程學和計算機科學的必備知識。
14.萬有引力定律
萬有引力描述的是兩個物體之間的引力和距離的關係。你大概要在高中學習這個知識。
艾薩克•牛頓利用翰尼斯•開普勒（Johannes Kepler）的天文學和數學研究得到了該定律。 但是，牛頓也有可能剽竊了同時代英國博物學家、發明家羅伯特•胡克（Robert Hooke）的研究。
在相對論出現之前，我們一直使用萬有引力來描述世界是如何運行的。時至今日在衛星和探測器的軌道設計中我們依然需要應用萬有引力。
在發射航天器時，我們用萬有引力來尋找最佳的路徑，節約航天器燃料。
15.波動方程
波動方程描述的是波的運動，比如小提琴琴絃的振動。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
波動方程可以解釋聲波的傳播、地震的原理，以及海浪的行為。
石油公司在尋找油藏（石油勘探）時，常會引爆炸彈，然後利用波動方程來分析地質構造，從而錨定油藏所在地。
16.虛數
虛數的平方為負1。你大概要在高中學習這個知識。
斯圖爾特認為，“...如果沒有虛數，很多現代科技，如電燈和數碼相機都不可能發明。”虛數繼續發展，就變成了數學的一支——複分析，工程師可以利用複分析來進行數據處理。
虛數廣泛應用於電氣工程學、信號處理和數學理論。
17.多面體歐拉定理
多面體歐拉定理描述了一個多面體的頂點數V、稜數E及面數F間的關係。比如，一個立方體有8個頂點，12條稜，6個面，所以 8+6-12=2。你大概會在高中學到。
多面體歐拉定理是一個重要數學分支——拓撲學的基礎。拓撲學研究的是平面連續形變後的幾何性質。
在現代科學裡，拓撲學可以用來研究 DNA 的功能，也可以用來研究社交媒體還有因特網。
18.正態分佈
正態分佈是一種鐘形曲線，用來描述一個數值被觀測到的概率。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
正態分佈的鐘形曲線
正態分佈是現代統計學的基礎，科學，尤其是醫學、生物學和社會科學鍾愛正態分佈，也離不開正態分佈。幾乎對所有的科學實驗數據的分析都離不開正態分佈。
比如，利用正態分佈可以確定在臨床試驗中，某個藥物是否有效。
19.傅里葉變換
傅立葉變換描述的是時間和頻率的關係。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
傅立葉變換可以將成分複雜的波（比如歌曲、人的語言的聲波）庖丁解牛，把它的成分一一分離出來。傅立葉變換對於信號分析來說至關重要。
傅立葉變換可以用來壓縮文件。比如，一個音頻文件可以被傅立葉變換分解成不同的聲波，這樣我們就可以去掉那些人類聽不到的高音（高頻波）和低音（低頻波），從而精簡文件。同理，可以利用傅立葉變換把圖像壓縮為 JPEG 格式。傅立葉變換也可以用來發現分子的結構。
20.維納-斯托克斯方程
納維-斯托克斯方程是描述流體運動的基本方程。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
我們現在還不能完美地求解納維-斯托克斯方程。誰能求解這個方程，就可以拿走著名的千禧年大獎，以及附帶的一百萬美金獎勵。
好在現在的計算機的計算性能已經很強大，可以給出納維-斯托克斯方程的近似解，所以物理學家和工程師才能研究複雜的流體問題，設計符合空氣動力學的車輛和飛機。
21.麥克斯韋方程組
麥克斯韋方程組描述的是電場和磁場之間的關係。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
英國物理學家邁克爾•法拉第對電磁之間的關係做了開創性的研究，但由於數學不好，他並沒有為這些現象做出數學上的解釋。後來，詹姆斯•麥克斯韋把他的實驗發現轉化為方程，這就是麥克斯韋方程組的來源。
麥克斯韋方程組從根本上改變了物理學，它是電磁學的基礎，現代電學和相關技術都依賴這個方程。有了它，才有雷達、電視和現代通信。
22.熱學第二定律
熱力學第二定律描述的是，能量和熱量隨時間的推移而消散。熱力學第二定律的基本概念你大概在初中會接觸到，但是它的進階知識你可能會在大學學習。
熱力學第二定律能解釋能量和宇宙的變化。熵這個物理量也是基於熱力學第二定律產生的。有了熱力學第二定律，我們才能理解為什麼熱茶總是會變冷。
在設計引擎和發電廠的時候，必須要考慮熱力學第二定律。在證明物質是由原子構成時，熱力學第二定律也起到了一定的作用。
23.質能方程
質能方程指的是，能量等於質量乘以光速的平方。你可能會在高中接觸到它。
許多人都聽說過質能方程，但是很少有人知道，在愛因斯坦之前，阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）和愛德華·莫雷（Edward Morley）通過實驗證明了光速守恆。而愛因斯坦則是在理論上解釋了這個實驗發現。
質能方程也許是歷史上最著名的方程，它徹底改變了我們對宇宙和現實的看法。核武器的發明就依賴質能方程。
24.薛定諤方程
薛定諤方程是量子物理學的關鍵方程之一，它把物質描繪成了一種波。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
薛定諤方程徹底改變了我們對微觀尺度的看法。薛定諤方程所描述的粒子以概率的方式出現，而且具有不確定性。薛定諤的觀點是顛覆性的，而他的理論也成了量子力學的基礎。
現在，核能、半導體、激光都和薛定諤方程有關。
25.信息論
信息論估計的是一段代碼所包含的信息量。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
信息論可以用來估計任何內容（比如書和圖片）的信息量。斯圖爾特說，“這是信息時代的方程。”
利用信息論可以計算圖片最多可以被無損壓縮成多小。除了數據壓縮以外，信息論也被廣泛應用在密碼學、數據傳輸等計算機科學中。
26.人口增長模型
人口增長模型描述的是在資源有限的情況下，一群生物的數量增長模式。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
人口增長模型，橫座標為生長率，縱座標為數量。在人口增長模型中，微小的初始條件變化，也會引發天差地別的
人口增長模型和混沌理論有關，有助於解釋自然現象。混沌理論中最廣為人知的一個概念就是蝴蝶效應——微小的初始值變化會引起截然不同的後果，這就來自於人口增長模型。
現在，人口增長模型在地震預測和天氣預報中都有應用。
27.布萊克-斯科爾斯方程
布萊克-斯科爾斯方程是為一類金融產品（如期貨、期權）定價的數學模型。你大概在大學學到（或者永遠不會學到）。
它的發明者——美國經濟學家費希爾·布萊克（Fischer Black）和邁倫·舒爾茲（Myron Scholes）因為這個方程獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。
價值上萬億美金的金融產品都是布萊克-斯科爾斯方程的“衍生品”。許多人認為金融危機和布萊克-斯科爾斯方程脫不了干係，因為布萊克-斯科爾斯方程裡包含的一些假設在現實生活中站不住腳。
在2008年的金融危機之後，實際上銀行家們還在用布萊克-斯科爾斯方程對大多數金融衍生品進行定價。
28.表示第n個素數。
29.統一物理公式（電磁、強和弱作用力。還差引力）：
30.微分幾何曲面方程
設曲面
是
中的光滑曲面（符號上面不方便寫箭頭，我用橫槓表示向量了），則有曲面在自然標架下的運功方程：
其中
為法向量
，
、分別為曲面第一、第二基本形式係數矩陣，
是第二類Christoffel符號。
引入黎曼曲率張量
（Gauss方程）
（Codazzi方程）
31.拉馬努就公式
32.費拉里（意大利數學家）四次方程解法
33.近似的π公式
34.梅欽π近似公式
35.約翰伯努利連續離散公式
36.哈代一類三次不定方程最簡單特解
37.高斯十七邊型公式
38.林德曼π近似公式
39.拉馬努金連根號公式
40.拉馬努金連黃金分割公式
41.高斯-博內公式
這就是微分幾何中的高斯-博內公式的主要內容，即角差等於高斯曲率的面積分,諸如球面三角形的內角和等內容都與它有關,它是整體微分幾何的開山之作之一
平面上任一三角形的三內角之和恆等於π,對於一般曲面上由三條測地線構成的三角形,其內角和等於π加上高斯曲率K在此三角形所圍曲面上的積分.
1827年,高斯證明了這一定理.
1944年,博內將這一定理推廣到一般曲面上,由任一閉曲線C圍成的單連通區域,形成了著名的高斯-博內公式.
1944年,陳省身給出了高斯-博內公式的內蘊證明.
42.陳氏定理（陳景潤）
任何一個充分大的偶數都可以表示成一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和
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