文 | 緯俊
當前的流行的因子中多數以多空因子為主，他們通常由一個多頭組合和一個空頭組合等權組成。下面這個圖大家應該都見過，在我們很多篇文章都出現過，這次再來加深印象，首先要對本圖更瞭解，才能理解下面我們講的因子多頭與空頭。
以價值因子HML為例，也是由一個多頭組合和一個空頭組合等權組成，構造該因子，首先需要按照市值大小將股票分解成大市值（Big）和小市值（Small）兩組。然後在每組股票內，按價值大小排序，按30和70分位點分成三個小組，取高價值(H)的價值組和低價值(L)的成長組，High Minus Low（HML）即表示高價值-低價值，做多價值組並做空相同市值的成長組，並按50%/50%的比例分配到大市值組合和小市值組合。
用公式表示如下：
然而來自因子兩頭的溢價可能並不對稱，同時在實踐中做空通常伴隨著不少的成本和限制。因此對於因子投資來說，研究兩端的溢價十分有必要。
Blitz, Baltussen 和van Vliet(2019)在他們的論文《When equity factors drop their shorts》對此展開，研究了價值（HML）、動量（WML）、盈利（RMW）、投資（CMA）、波動（VOL）等因子多頭端和空頭端的溢價差距。
01 數據和方法
02 多頭和空頭的因子溢價
03 大盤和小盤的因子溢價
04 更多的可靠性測試
05 原文小結
06 思考和質疑：多頭/空頭組合構造方式合理嗎
07 實踐中的因子投資
一、數據和方法
文章使用瞭如下6個因子研究因子的多頭和空頭溢價：
文章使用的因子
作者在構建多頭和空頭因子時，使用的是相對應的市場組合進行對沖。該市場組合經過了市值調整，即包含50%大市值組合和50%小市值組合。其中大市值和小市值組合由【市值-價值】2*3組合、【市值-盈利】2*3組合和【市值-投資】2*3組合重新組合而成，大市值組合的收益率等於以上組合的9個大市值部分收益的算數平均值，小市值組合的收益率等於以上組合的9個小市值部分收益的算數平均值。
因子多頭及空頭對沖組合的構造方式如下公式所示
如構建HML的多頭因子時，按50%/50%比例分別做多HML組合中H部分的大市值價值股和小市值價值股，並以同樣比例同等數額做空大市值組合和小市值組合。
二、多頭和空頭的因子溢價
作者研究了1963-2018年期間，美國股市各個因子的多頭部分和空頭部分各自的收益及風險。其中【多頭-市場】表示多頭端對沖組合，即做多因子的多頭組合，做空市場組合。【市場-空頭】表示空頭端對沖組合，即做空因子的空頭組合，並做多市場組合。【多頭-空頭】為做多因子多頭組合，做空因子空頭組合。“ALL”表示5個因子組合的等權重構建的組合。
各因子多頭部分和空頭部分的收益及風年 數據時間：1963至2018年
可以看到，5個因子中只有2個因子（HML和VOL）的多頭部分收益率高於空頭部分收益率，且只有3個因子（HML、WML、CMA）的多頭端對沖組合夏普比率高於其空頭端對沖組合。但是從具備一定分散化效果的“ALL”組合來看，無論收益還是波動，多頭端對沖組合（夏普比率1.1）都明顯優於空頭端對沖組合（夏普比率0.69），這說明基於多頭組合構造的多因子組合展現出了更好的分散化性能。
各組合相對其它因子組合的相關係數平均值
上圖展示了各個組合相對其它因子組合的相關係數平均值。如HML的多頭組合相對其它多頭組合相關係數的平均值為0.04。從結果來看，空頭端因子間具有較強的相關性。最低的WML也有0.12的平均相關性，而綜合的空頭端多因子“ALL”組合平均相關性達到了0.31。
與之相比，多頭端因子之間的相關性更低，甚至為負相關，多頭端的多因子“ALL”組合平均相關性為-0.04。在正預期回報的前提下，越低的相關度能帶來更好的分散化效果。從以上平均相關度來看，正好印證了前面所得的結論：多頭組合構造的多因子組合有更好的分散化表現。
不同數量因子構造的多因子組合平均夏普比率
原文作者還分析了多頭和空頭組合在不同數量的多因子組合中的性能表現。上圖是不同數量因子構造的多因子組合平均夏普比率，黑色代表多頭組合，深灰代表多空組合，淺灰代表空頭組合。可以看到多頭（Long）、空頭（Short）和多空（L/S）的單因子組合具有相似的夏普比率。
但是隨著因子數量的增加，多頭的多因子組合具有更好的分散化表現，從最初0.5的夏普比率增加到5因子的1.1。而空頭的多因子組合分散化效果則不是很明顯，5因子組合也只有0.7左右。多空組合的表現則介於兩者之間。
從上面的研究來看，空頭組合在構建分散化的投資組合時表現是不如多頭組合。但是我們也要注意空頭組合中是否存在不能被多頭組合解釋的正溢價，因為利用這些溢價也是能幫助我們改善分散化投資組合的表現。
多頭組合和空頭組合構建投資組合時的價值
上表的Panel A展示了多頭和空頭組合的相關性，以及無法被解釋的Alpha。可以看到，各個因子的多頭端和空頭端的相關性還是比較高的，特別是構造成多因子組合後，多頭端的“ALL”組合與空頭端的“ALL”組合有0.87的相關性。
當我們將空頭因子作為解釋變量進行迴歸，發現多頭因子普遍存在顯著的無法被空頭因子解釋的正Alpha。反過來進行迴歸，空頭因子存在無法被多頭因子解釋的負Alpha。這些結果表明，持有單個或多個多頭因子組合，在控制空頭因子後（如對沖空頭因子的暴露），能獲得顯著的超額正收益，從而提升投資組合的價值。而持有空頭因子組合則無法獲得類似的超額正收益。
最後，原文作者基於最大夏普的優化目標，構造一個投資組合，其優化過程能考慮到投資組合間的收益、波動以及各因子組合之間的相關性。從優化結果來看，該最大夏普組合的權重97.4%都配置到多頭因子組合中，這一結果證實了我們前面的測試結論。
三、大盤和小盤的因子溢價
一些研究表明，許多因子常常在小盤股中展現更高的溢價。對於此類因子，按照市值加權的方式會導致投資組合在市值的暴露中偏向大盤股，從而遺漏了小盤股中的因子溢價。對此，在標準的因子研究中，經常採用兩步法構造因子來降低規模大小的影響，如文章開頭中所介紹的HML因子構造。這意味著，對於這些兩步法構造的因子，我們還能分析溢價在大盤（Large caps）和小盤（Small caps）中的表現。
每個因子在不同市值及多/空兩個維度的平均夏普比率
上表的Panel A 展示了每一個因子在大市值/小市值/所有市值以及多頭/空頭/多空組合兩個維度的平均夏普比率。可以看到，無論是多頭組合還是空頭組合，小市值的因子組合都有更加優秀的表現，且它們的差距在空頭組合中表現更加明顯，空頭的小市值組合夏普達到0.94，比空頭的大市值組合高0.58。也就是說，小市值的因子組合能帶來更好的投資業績。
上表的Panel B展示了利用它們進行組合優化的結果。可以看到，無論是大市值還是小市值，多頭組合都擁有顯著的正溢價，因此最大夏普模型分配了100%的權重到多頭組合。其中，21.1%分配到大市值組合，78.9%分配到小市值組合。因此，小市值的多頭組合能帶來更多的因子溢價，大市值的多頭組合也能提升組合的業績表現，但是空頭組合對於組合業績的優化幫助不大。
四、更多的可靠性測試
不同時期的測試
在本節的測試中，作者首先研究了子樣本區間的表現，分析是否在每段時期內上述結論依然成立。
不同時期多頭組合和空頭組合的表現
不同時期多頭組合和空頭組合的表現
上圖將全時段分割成10年一個區間。可以看到，在所有的時段中，多頭組合都比空頭組合和多空組合有更高的夏普比率。對於多空間的溢價，多頭相對於空頭在每個時期都擁有顯著的正Alpha，而空頭組合相對於多頭組合都不存在顯著的正Alpha。這些結果都說明持有多頭組合在每個時期都有著明顯更高的正溢價。
不同地區的測試
除了多個因子/多個時期的測試外，原文作者還對不同國家的因子進行了可靠性分析。
不同地區的因子組合表現
上圖記錄了北美(N.America)、歐洲(Europe)、日本(Japan)、日本外的亞太地區(Asia Pac.)以及全球（Global）市場的1990年7月-2018年12月因子的平均夏普比率和平均Alpha。可以看到，除了日本以外，多頭端因子的溢價是普遍存在且優於空頭端因子。日本以外地區的多頭因子夏普比率都高於空頭因子，且擁有空頭因子無法解釋的顯著正溢價。因此，多頭因子溢價優於空頭因子的這一現象，在日本以外的地區都存在。
因子多頭/空頭的尾部風險
對於因子的多頭和空頭而言，風險常常是不對稱的。因此，多頭與空頭的尾部風險比較尤為重要。
多頭組合與空頭組合的累計最大回撤
上圖展示了多頭多因子組合和空頭多因子組合的累計最大回撤。結果顯示空頭因子的回撤通常能達到多頭因子的兩倍，並在危機來臨時面臨更大幅度的虧損。在2008年金融危機中，空頭組合的虧損達到了多頭組合的3倍。這意味著空頭組合會面臨比多頭組合更多的尾部風險。
尾部風險統計
上表進一步地從指標上證明上述結論。相比多頭組合，空頭組合擁有更低的負偏度和更大的峰度，並面臨更大的虧損風險。此外更低的尾部Beta意味著空頭組合承擔更多的市場下行風險。總的來說，空頭多因子組合的尾部風險大於多頭多因子組合。
五、原文小結
從前文的研究來看，因子的溢價通常存在於多頭端，持有空頭組合無法給多頭組合帶來任何業績提升，甚至會存在更大的尾部風險。並且這些結果在世界不同地區（除日本）和不同的時期都是有效的。
根據以上結論，作者認為投資者應該通過持有因子的多頭組合，並使用高流動性的期貨對沖其市場風險，來獲得因子的溢價。需要說明的是，上述研究都沒有考慮到做空費用和限制，這些成本在小盤股上表現將更加明顯，而做多小盤股的成本則要小得多。考慮這些影響後，因子空頭組合的表現將會更加糟糕。
在這些研究之外，作者進行了額外的測試。根據FAMA及其它學者的研究，價值和波動的多空因子能被質量類因子解釋。但將價值因子和波動因子的多頭和空頭拆開後，作者發現它們的多頭都存在質量類因子無法解釋的正溢價，而空頭部分則沒有顯著溢價。因此，我們不能簡單地剔除價值因子和波動因子，這些因子的多頭都是具有投資價值的。
六、 思考與質疑：多頭/空頭組合構造方式合理嗎？
風險的不對稱性與對沖
經典的多空因子構造方式，實際上存在著多因子模型中多頭組合及空頭組合在不同因子間相關性為0的假設，即一個因子的多頭和空頭部分在其它因子的暴露程度是相同的，或者說風險是對稱的。只有這樣，最終構造出來的多空因子才能對其餘風險免疫。
在這樣的前提下，因子的多頭組合部分和空頭組合部分在市場的暴露都應該同時為1，此時使用一個等市值的市場組合就能完成市場風險的對沖，使得多頭組合或空頭組合只剩下對該因子的風險暴露，從而實現純因子組合。
理論很美好，現實很骨感。因子多頭組合和空頭組合面臨的風險可能並不對稱，尤其是市場風險。對此，我們分別計算每個因子的多頭組合和空頭組合相對市值調整市場組合超額收益（50%大盤組合+50%小盤組合-無風險利率）的滾動10年Beta。
數據來源：Bloomberg 數據時間：1973年7月至2018年12月
數據來源：Bloomberg 數據時間：1973年7月至2018年12月
從上面兩張圖可以看到，多頭因子組合的beta通常在1附近波動，空頭因子組合的beta則基本都高於1不少。原文作者在構造空頭對沖組合時，使用的是“市場組合-因子空頭組合”，即按照1:1的比例進行對沖。當組合的beta超過1時，這種對沖方式會造成市場風險的對沖不足，並使投資組合暴露在負向的市場風險中。在美股持續上漲的背景下，市場因子本身會產生不俗的正收益，這樣的對沖策略可能會導致空頭投資組合的表現被嚴重低估。
此外，在不同時間段上，Beta也存在一定的波動。因此，我們基於市場風險暴露的大小進行動態對沖的測試。
需要注意的是波動率VOL因子與其它Fama-French因子存在一些細微區別，在構建時已經針對其中的4個組合（大盤低波，大盤高波，小盤低波，小盤高波），分別按照其市場Beta對沖市場風險。因此，在接下來市場風險的不對稱性研究中，我們只測試Fama-French的4個因子及其分散化組合。測試標準如下：
對沖比例：因子收益相對市值調整市場超額收益的滾動Beta；
滾動窗口：10年；
測試時間：1973年7月至2018年12月；
測試數據：Fama-French美國因子月頻數據；
測試因子：HML, RMW, CMA, MOM, ALL(前四個因子的等權組合)。
不同對沖方式下因子組合與市場組合的相關係數
上表展示了不同對沖方式的因子策略收益與市值調整市場因子的相關係數。從結果可以看到，在原文的對沖方式下，空頭組合與市場空頭組合的相關性在-0.26至-0.49之間，存在明顯的負相關關係，也就是說空頭組合存在對沖不足的現象。而採用動態對沖後，因子組合在市場風險的暴露明顯減少，所有組合的相關係數都能將絕對值控制在0.1以內。相比原文的1:1對沖，動態對沖的對沖效果明顯更優。
因此，原文的“市場-空頭”組合並沒有很好地剔除市場風險的影響。而在對比多頭和空頭兩者的表現時也沒將市場因子加入到解釋變量中，這會嚴重低估空頭組合的價值。
基於動態對沖的多頭與空頭溢價 數據時間：1973年7月至2018年12月
類似前文【3.多頭和空頭的因子溢價】的測試，上表對比了原文1:1對沖和動態對沖的多頭對沖組合和空頭對沖組合的表現。在1:1對沖時，等權4因子組合“ALL”的空頭組合及多空組合的分散化效果都不如多頭組合，其夏普比率只有0.61和0.79，小於多頭組合的1.03，這一差異很大程度是由於空頭組合市場風險的對沖不足，在市場因子上由過大的負暴露。
在採用動態對沖後，多因子的空頭組合收益上升不少，但其波動率和最大回撤依然比多頭組合大很多，綜合來看每個因子空頭組合的夏普比率都比多頭組合高。空頭的多因子對沖組合“空頭ALL”夏普比率達到0.96，接近於多頭組合的1.04。多空組合的分散化表現也大幅提高，並達到多頭組合同樣的夏普比率。
多頭與空頭間的相對溢價 數據時間：1973年7月至2018年12月
上表沿用了作者的構造方式，分析多頭與空頭間的相對溢價，統計時間為1973年7月至2018年12月，其中在5%顯著性水平上顯著的Alpha會被加粗標紅。可以看到，當我們在迴歸中加入市值調整市場因子作為解釋變量後，多頭對沖組合相對空頭組合的溢價有所下降。與此同時，大部分空頭組合相對多頭組合的溢價從負變正，這說明原文結論中空頭組合相對多頭組合的負溢價，很大程度上來源於該對沖組合在市場因子上的負暴露。在採用動態對沖後，得到的結果與加入市場因子的迴歸模型類似，其對沖效果十分明顯。
不同對沖方式下最優夏普投資組合配比 數據時間：1973年7月至2018年12月
上表分別對1:1對沖組合和動態對沖組合進行投資組合的最優化，優化目標為最大化投資組合夏普比率。可以看到，對於1:1對沖組合，大部分因子的空頭組合的確對組合業績提升作用不大，僅有RMW被分配了5%的權重。但我們使用動態對沖方式構建的多頭和空頭因子組合時，空頭部分總共被分配了44.1%的權重。因此，在採用動態對沖的情形下，因子空頭對於投資組合的業績有非常積極的作用。
從上述測試結果來看，在考慮了市場因子的影響後，空頭組合相對多頭組合存在無法被解釋的正溢價，這與原文作者的結論大相徑庭。
作者在其文中指出因子的空頭相對多頭的分散化收益較弱，這個結論在作者構造的多頭-市場和市場-空頭組合中是對的，但這並不意味著空頭組合是無意義的。因為作者構造的空頭組合沒有很好地剔除市場或其他因子的影響，並在構建投資組合時忽略市場因子。假設我們使用動態對沖的空頭組合，或者在構建投資組合時把市場組合考慮進來，持有空頭組合是能對我們投資組合的業績產生積極的影響。
基於動態對沖的多頭與空頭尾部風險
數據來源：Bloomberg 數據時間：1973年7月至2018年12月
數據來源：Bloomberg 數據時間：1973年7月至2018年12月
上圖展示了四因子的“ALL”組合分別採用1:1對沖和動態對沖後的歷史最大回撤，這裡的歷史最大回撤是指當期值相對於前期最高點的回撤。可以看到1:1對沖和動態對沖的情形下多因子組合在空頭部分都存在著巨大的尾部風險。
原文研究中已經指出，因子空頭面臨更大的尾部Beta，也就是說來自系統性的下行風險對空頭的影響更大，這在上圖中也得到印證。然而原文的1:1對沖由於對沖不足，在市場組合上行時會對空頭組合也產生不利影響，並導致在2009年後1:1對沖組合依然有如此大的回撤，而動態對沖組合則較好地解決了這個問題。但總的來說，因子的空頭組合依然存在較大的尾部風險。
七、實踐中的因子投資
實踐中的對沖
在前面的測試中，對沖使用的市場組合由大市值組合和小市值組合等權得到，而在實踐中，直接做空這些組合的難度比較高，對此我們可以使用相應的指數及其相關標的進行對沖。對於大盤因子我們可以選擇標普500指數，小盤因子則使用羅素2000指數。首先我們檢驗它們的相關性，測試時間為1979年1月至2018年12月。
大小盤指數與大小盤因子間的相關係數 數據時間：1979年1月至2018年12月
上表是大小盤指數與大小盤因子間的相關係數。標普500與大盤因子的相關係數達到0.99，羅素2000與小盤因子的相關係數也同樣達到0.99。從這個角度來看，標普500和羅素2000指數是大小盤因子很好的替代品。
不同對沖標的下因子組合與市場組合的相關係數 數據時間：1979年1月至2018年12月
落實到動態對沖策略中，採用指數對沖的效果與因子對沖不相上下。指數對沖後的組合與市場因子的相關係數同樣能將絕對值控制在0.1以內，因此使用指數也能很有效地對沖市場風險。當我們實際投資時，使用相應50%標普500指數期貨+50%羅素2000指數期貨的組合就能很好地實現市場風險的對沖，並獲得純因子收益。
空頭因子的做空成本
在前面的研究中，持有空頭對沖組合，會面臨更大的尾部風險。而在實踐中可能會面臨更大的問題。
HML因子各個組合的平均借貸成本 數據來源：《Facts About Formulaic Value Investing》
Kok, Ribando, and Sloan (2017)統計了2008-2015年HML因子各個組合的平均借貸成本。小市值股票理所當然有更大的借貸成本。對於大市值股票，也有0.5%的借貸費用。按照各50%的比例，每年做空股票平均就需要付出大約1.65%的借貸費用。同時，小市值股票流動性更差，在做空交易中會面臨更大的市場衝擊成本。在考慮了這些因素後，一般投資者會面臨巨大的成本和費用，並對空頭的投資組合收益產生非常大的損耗。
基於動態對沖的價值組合的表現 數據時間：1979年1月至2018年12月
上表展示了在1.65%年化做空成本且不存在其它費用和市場衝擊成本的假設下，基於動態對沖的價值組合的表現。可以看到多頭組合在考慮費用後，收益反超了空頭組合，且其夏普比率也高於空頭組合和多空組合。
因此，借貸成本和市場衝擊成本對因子的空頭部分表現有非常大的影響，我們在進行因子投資時，需要把這一因素考慮進來。
寫在最後
按照學術界和業界通常的構造方式，多空因子持有多頭組合並做空等量的空頭組合。原文作者從這個角度出發，將因子拆解成多頭和空頭部分，並使用等量的市場組合對沖掉市場風險，獲得因子單邊的純因子收益。
基於這種構造方式，原文作者認為空頭組合相對多頭組合是無效的，將其加入到投資組合中並不能顯著提升業績，卻可能面臨更大的尾部風險。因此僅持有多頭組合可能是更合適的選擇。
然而實際上，因子的多頭和空頭通常面臨不對稱的市場風險，在構造純因子組合時多頭和空頭應分別使用不同比例的市場組合進行對沖。我們在使用動態對沖的方式後，發現空頭對沖組合相對多頭存在正溢價，這表明經過完整對沖後的空頭組合對投資組合的配置是存在積極的意義的。
但是從實踐上來看，空頭組合面臨較高的做空成本，且多頭組合也沒有相對多空組合存在顯著的劣勢，因此放棄空頭部分的收益也是一種選項。對於一般投資者，可以通過持有因子多頭組合並使用50%標普500+50%羅素2000的期貨組合進行對沖，來獲得純因子收益。對於擁有較低借貸成本的機構投資者來說，大可多頭空頭溢價通吃。
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