艾伯史密斯

說一個小時候，寒木死活想不明白，僅靠記憶做題……

長大了，看到證明後，才心服口服的東東。

證明過程超級簡單，小學三年級的人都能看懂。

除數不能等於零！

這是小學老師告訴我們的，但那時，他們很少告訴我們，這是為什麼。

他們大多隻會一邊敲著黑板一邊大喊：除數等於零，沒有意義！沒有意義！

這個“沒有意義”實在是太難以理解了，折磨了寒木很長時間。

現在，我們用反證法來證明一下：

假設，0可以作為除數，則：

0×1=0

0×2=0

所以：

0×1=0×2

因為0可以作為除數，所以……

兩邊再除以0，得：

化簡一下：

得：

1=2

矛盾，所以，0不能作為除數。

小學六年級的時候，如果老師能給我們這麼證明一下，我們就不會去深入思考，那個“沒有意義”到底是個什麼意義了。

最後，來一個趣味題。

話說，有4個算命先生，分別是A、B、C、D先生。其中：

A先生：準確率10%，收費5元；

B先生：準確率45%，收費10元；

C先生：準確率60%，收費15元；

D先生：準確率80%，收費20元；

那麼，你該選擇哪個呢？既要追求準確率，還要追求性價比，能同時做到嗎？

答案太容易了。

這樣去思考，A先生的準確率只有10%，那就說明，他的錯誤率就是：

1-10%=100%-10%=90%

因此，你每次去找他算命，如果他說：

小夥子，你今年沒有桃花運，要2020年才有哦。

則：

你今年擁有桃花運的概率是90%。

但你只需要花5塊錢。

寒木釣萌

看了幾個回答談到了反證法，想起了我一直的一個疑惑，和題目關係不是很大，我覺得反證法本身可能就有問題。

我高中的時候有一次數學練習題，有一道證明題，具體我忘了，總之大概就是給了一些條件，最後證明k>2，我當時就沒有解出來，後來老師講題的時候用的反證法，倒推後證明k<=2時與題目給定的條件不一致，所以k>2成立，其實這種題高中時倒也常見，但我當時突然有點疑問，就問了老師一個問題，如果我不去證明k<=2時不符合給定的條件，而是去證明k<=1時不符合給定的條件（這個肯定是成立的，因為k<=2的區間包含k<=1），那麼這個題不就無法證明了？怎麼確認“2”是恰好的分界點？也許還有"2.1"、“3”啊，老師讓我證明一遍，我用反證法很快照著老師的思路證明k<=1時，不符合題目給定的條件，所以k>1(事實上，k>1包含k>2)，老師當時也有點懵，我當時學習不是那種很好的，老師就說讓我別考慮別的數字，既然題目是2，就用2。所以，我一直到現在都覺得反證法本身是有侷限的，甚至是有問題的。當然，一家之言，我本身數學也不大好，如果不對請勿噴，如果有人能解答疑惑，萬分感謝。

看了很多回復，我覺得應該重申一下我要說的關鍵，我不是說這個題怎麼樣，我是對反證法這種證明方法有異議，因為這種證明題，一般都是根據條件推導出結論，幾乎沒用過反證法。如果把這個題改一下，其他條件都不變，但改成不知道結論的求解題，大家隨便假設一個數，然後反證法證明了，這個過程也沒有問題，但明顯不對，再說如果我反證法證明了k>3，那算不算對？如果一個證明方法等得出很多不同的結果，還有什麼意義？這裡重點是那個恰好的節點，如果能證明2就是那個節點，那就不需要用反證法了。

流落星空

我業餘數學興趣者。有人證明：0.999…=1 證明大致可為

因為 1=3/3

=1/3+2/3

=0.333…+0.666…

=0.999…

所以 0.999…=1

我以為上述證明漏洞，嚴謹地講 1/3、2/3應當表述為：

1/3=0.333…+無窮小量

2/3=0.666…+無窮小量

其符號…僅表述了無限循環數，

所以 1=1/3+2/3

=0.333…+無窮小量+0.666…+無窮小量

=0.999…+無窮小量

而 0.999…不等於0.999…+無窮小量，

所以 0.999…不等於1

以上為我業餘數學興趣者陋見，喜諸位老師指正。

甘雲雄

數學一向以嚴謹的思維著稱，每一步推理都需要嚴格的理由。但在數學歷史中，漏洞百出的數學推理也頻頻出現。有趣的是，即使是這些不嚴格的思路也充滿著智慧，在數學中的地位不亞於那些偉大的證明。今天筆者舉例幾個經典讓人拍案叫絕的異類證明，來說明在數學裡證明有時也是可以耍流氓的。

1.勾股定理得的無字證明

這個大家小學就學過的古老定理，有著無數傳奇故事。我可以很隨意的寫出她的10個不同的證明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《畢達哥拉斯命題》（ Pythagorean Proposition）提到這個定理的證明方式居然有367種之多，實在讓人驚訝。這裡給出一個不需要語言的證明方法。

最直觀的證明：

實際上勾股定理是餘弦定理的一種特殊情況，而餘弦定理的證明，同樣可以不用語言。

2.歐拉的流氓證明法

　　在數學史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經仔細研究過所有完全平方數的倒數和的極限值，並且給出了一個漂亮的解答：

這是一個出人意料的答案，圓周率 π 毫無徵兆地出現在了與幾何完全沒有關係的場合中。歐拉的證明另闢蹊徑，採用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據方程 sin(x)/x = 0 的解，對 sin(x)/x 的級數展開進行因式分解，再利用對比係數的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用於有限多項式，在當時的數學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結果。歐拉大師耍了一個漂亮的流氓。

3.幾何平均值小於算術平均值

這是不等式中最重要和基礎的等式：

它也可以通過圖形來證明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很輕鬆地得到AB=√ab。剩下的就顯而易見了。

4.最受數學家喜愛的無字證明

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤後，你所使用的每種菱形數量一定相同。

《美國數學月刊》提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形塗上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在牆角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。死理性派曾經討論過 這個問題 。同時它還是死理性派logo的出處。

5..棋盤上的數學證明

在一個8×8的國際象棋棋盤上，我們可以用32張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋整個棋盤上的64個方格。如果將對角線上的兩個方格切掉，剩下來的62個格子還能用31張骨牌覆蓋住嗎？

答案是不能的。每一張骨牌在棋盤上必是覆蓋住兩個相鄰方格，一白一黑。所以31張骨牌應該可以蓋住31個黑格和31個白格。而這被切了角的棋盤上的方格有32個是一種顏色，另一種顏色是30個，因此是不能被31張骨牌覆蓋的。

但是如果我們切掉的不是顏色相同的兩個呢？假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的方格，那麼剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住？我可以告訴你這是一定能做到的,並且關於這個結論，存在一個非常漂亮的證明。建議讀者在繼續往下閱讀前，可以先自行思考如何證明這個結論。

上圖就是那個漂亮的證明。不妨對它再贅述兩句。粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路（如果切掉的方格是相連的，那就是一條線路）。在這兩段（或一段）線路中，兩種顏色的格子數量都是偶數，故分別都可以被若干張骨牌覆蓋。從而證明整個棋盤可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個著名的棋盤問題是數學遊戲大師馬丁•加德納提出的，而上述精妙絕倫的證明則是數學家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它們後來被收錄在《意料之外的絞刑和其他數學娛樂》這本書裡。

6.旋輪線的面積求解

車輪在地上旋轉一圈的過程中，車輪圓周上的某一點劃過的曲線就叫做“旋輪線”。在數學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優美的性質。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。

這個結論最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）發現的。不過，在沒有微積分的時代，計算曲線下方的面積幾乎是一件不可能完成的任務。伽利略是如何求出旋輪線下方的面積的呢？

他的方法簡單得實在是出人意料：它在金屬板上切出旋輪線的形狀，拿到秤上稱了稱，發現重量正好是對應的圓形金屬片的三倍。

在試遍了各種數學方法卻都以失敗告終之後，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。用物理實驗解決數學問題也不是一件稀罕事了，廣義費馬點（generalized Fermat point）問題就能用一套並不複雜的力學系統解出，施泰納問題（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜實驗瞬間秒殺。

中學數學深度研究

生日悖論，一個班有50個學生，存在相同生日的概率為97%。怎麼算的很簡單，但就是結果讓你想不到。

陳卓0119

我中學的時候，背平方和公式，a加b的平方=a平方+b平方+2ab，我總忘記那個2，感覺這個式子裡這個2很突兀，完全沒道理；直到看見一本輔導書，裡面有個圖，用長方形面積完美地解釋了這個式子，我印象無比深刻，以至於現在還能畫出來。

點點滴滴的低調

1.證明你媽是你媽

2.證明1=0.99999999999999999999999999999999999999999999999

3、證明e∧iπ+1=0

4、證明E=MC²

哇長門

提一下勾股定理吧！畢竟——

不知道，你有沒有注意到：在數學上，經常提到割補法！

割補大法就是，先是分割一下，再來個拼接。咦！瞬間眼前一亮——解決問題的思路也隨之蹦出來了！

比如說，在小學，就經常用到割補法了。這裡以梯形面積公式的推導為例，對梯形來個切割，再拼一下，就變成三角形了！而三角形面積公式是已經學過的了，所以梯形面積公式也就出來了。

這就是割補法的妙處。言歸正傳，說回鼎鼎大名的勾股定理！

特意畫了個圖，用數學語言來表述勾股定理：

用文字來說：勾股定理就是直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

至於勾股定理的證明方法，據說有四百多種！神奇吧！

我們知道，在教材當中，是採用我國古代數學家趙爽的證明方法，也就是我們所熟悉的趙爽弦圖。私以為這個證明很是經典~其證明思路，請見下圖：

也就是將兩個正方形進行分割，分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，再進行拼接，拼接為另一個正方形。這裡便是利用圖形分割前後的面積不變，來證明勾股定理。

勾股定理，有多個別稱，畢達哥拉斯定理是其一。既然說是畢達哥拉斯定理，那就來一個畢達哥拉斯證法吧！

被嚇跑了嗎？我們還是來個簡單點的！看下圖：

這裡可以看作是：從一個大正方形裡分割出四個全等的直角三角形，用這四個直角三角形來拼接。不管在這個大正方形裡怎麼拼，大正方形的面積是固定不變的，四個三角形的面積也是不變的，那麼，剩下部分的面積自然也是相同的。

如果覺得上面繞，那就看這句：簡單點，只看空白部分，白色部分的面積是相同的。

所以，勾股定理得證！

啊K數學

有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。

（1）自然數的立方和=自然數之和的平方

上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：

把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。

（2）勾股定理

這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：

大正方形的面積為：

(a+b)^2

大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：

4×(1/2ab)+c^2

由此可得下式：

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

化簡之後，即可得勾股定理：

a^2+b^2=c^2

（3）歐拉恆等式

這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。

歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：

對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：

再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：

顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：

e^(iπ)=-1+0

對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。

（4）證明圓周率是無理數

圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。

倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：

π=a/b

構造如下兩個函數：

其中n為正整數。

顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。

再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：

對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：

因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。

當x∈(0, π)時，顯然有a-bx

關鍵字: 證明 除數 教育