例42如圖4-124，已知：AB是⊙O的直徑，弦AC、BD相交於E，PD、PC與⊙O相切於D、C。求證：PE⊥AB。
圖4-124
分析：本題要證明PE⊥AB，這是一個兩條垂線的判定問題，所以應根據垂線的定義，即它們應相交成90°角，將它們延長到相交，於是延長PE交AB於F（如圖4-125），問題也就是要證∠EFA=90°
圖4-125
由條件AB是⊙O的直徑，所以可應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明。現在圖形中是有直徑，有半圓上的點D、C，而沒有圓周角，所以應將圓周角添上，於是聯結AD(或BC)，即可得∠ADB=90°（如圖4-126），這樣要證明∠EFA=90°，就成為應證A、F、E、D四點共圓，也就是四邊形AFED應是圓內接四邊形。又因為P、E、F成一直線，出現了∠PED是這個圓內接四邊形的一個外角，所以問題又可轉化為應證∠PED=∠DAB。
圖4-126
又因為PD與⊙O相切於D，所以可應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，由於BD是過切點D的弦，∠PDB是弦切角，所以有∠PDE=∠DAB，於是問題就轉化為要證∠PED=∠PDE，也就是應證它的等價性質PD=PE成立。又因為PD、PC分別與⊙O相切於D、C，所以可應用切線長定理得PD=PC。這樣問題實質上就成為要證PD=PE=PC，而這個等式一出現，就是要證P是△CDE的外心。由於這個△CDE目前尚未出現，所以應將它先添出來，也就是聯結CD。
現在要證P是△CDE的外心，則根據三角形外心的定義，它應在三角形三邊的垂直平分線上，而其中的一條中垂線是容易證明的，這是因為這個三角形的一條邊CD是聯結兩個切點的弦，所以由PD、PC分別與⊙O相切於D、C，應用切線長定理及其推論，即有聯結OP後（如圖4-127），得OP是CD的垂直平分線，於是就可得△CDE的外心必定在OP上。
圖4-127
另一方面，因為PD與⊙O相切於D，所以又可以應用切線的性質，也就是聯結OD後（如圖4-127），可得∠ODP=90°，但在作出了OD以後，由於OD和OB是同圓的兩條半徑，所以有OD=OB，它們就可以組成一個等腰三角形，應用等腰三角形的基本圖形的性質又可得∠ODB=∠B。而現在圖形中還出現了圓上的四點，即A、B、C、D四點共圓，從而再應用圓周角的基本圖形的性質，又可得∠B=∠ACD，所以∠ODB=∠ACD。而這兩個角相等的關係一出現，也就出現了一個弦切角的基本圖形，從而就可以應用弦切角性質定理的逆定理，得OD與△DEC的外接圓相切於D。而我們已經證明PD⊥OD，所以PD必定經過△CDE的外接圓的圓心，也就是△CDE的外心也必在PD上，於是可得△DEC的外心必定是OP和DP的交點，也就是P點，從而就可證明PD=PE=PC，分析完成。
例43如圖4-128，已知：PA與⊙O相切於A，割線PBC交⊙O於B、C、D是BC的中點，求證：P、O、D、A四點共圓。
圖4-128
分析：本題條件中給出了PA與⊙O相切於A，所以可應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，也就是聯結OA後（如圖4-129），可得∠PAO=90°，又因為D是弦BC的中點，所以又可以應用弦的中點的性質，或者也就是直接應用垂徑定理，得聯結OD後（如圖4-129），有∠PDO=90°。於是就得到∠PAO=∠PDO=90°，從而就可以證明P、O、D、A四點共圓。
圖4-129
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