萬維鋼解讀，從數學上解釋為什麼絕大多數投資者都會輸給市場？最可能值，遠遠小於平均值。
咱們來思考一個數學問題。這個數學問題有助於我們理解一個看似有點反常識的道理，那就是為什麼絕大多數投資者都會輸給市場？
如果你去考察華爾街那些金融機構，什麼各種基金，也包括所有的個人投資者，你看他們一年下來的投資成績，其中絕大多數，都不如標準普爾指數的增長。
投資界公認，打敗標準普爾指數非常非常難。哪個公司打敗了標準普爾，那絕對是值得吹噓的成就。
可是你想想，這好像不對啊？標準普爾指數是從股市中選出500只股票的平均增長，它代表的只是一個平均水平。比平均成績好，怎麼會這麼難呢？
今天我們要說的就是這個道理。這個道理正好和咱們前幾天講塔勒布的《利益攸關》裡面一個概念叫“遍歷性”，的本質上是一樣的。
我要用的例子是來自一本叫《一個數學家玩轉股票市場》（A Mathematician Plays The Stock Market）的書，作者約翰·保羅士（John Paulos）是一位數學家。你要想理解股票市場是怎麼回事，建議好好讀讀這本書 —— 數學家的見識絕對比那些學金融的深刻。但是你要想在股市上賺錢，這本書可能沒什麼幫助 —— 事實上保羅士是因為在股市上賠了很多錢，痛定思痛，才寫了這本書。我覺得這本書很適合勸人不要炒股。
保羅士編了一道數學題。我們知道，新股剛上市的時候，股價波動往往很大。咱們乾脆假設，任何一隻股票 IPO 第一週，股價都是或者上漲80%，或者下跌60%，可能性各佔一半。漲幅比跌幅大，機會啊。那我們能不能搞一個投資策略，每個星期一都買一隻 IPO 的股票 ，然後在星期五把它賣了。我的資金有一半的可能性會上漲80%，有一半的可能性會下跌60%，平均下來，數學期望是賺10%，對吧？那如果我每週都賺10%的話，一年下來利滾利，那就是1.1的52次方 —— 如果我投入了1萬元，到年底我會有142萬元。這142萬元，就是市場的平均回報。但是這可不是你最有可能拿到的回報。
你最有可能拿到的回報是什麼呢？假設你總共有1萬元，你每週一把錢全投進去買 IPO 的股票，週五再把股票全部賣掉，下週一再把錢全投進去。
如果你這麼做，最有可能的結果是52個星期下來，你還剩下1.95元。
咱們算算。你最可能面對的結果是在50%的時間裡，你的資金增長80%，在另外50%的時間裡，你的資金下跌60%。你的資金要乘以1.8倍26次，乘以0.4倍26次，結果就是你平均每兩週虧28%，一年後一萬元就變成了1.95元。
那麼問題來了，前面那個142萬元的平均收入又是從哪來的呢？這其實是假設有很多很多個投資者都在市場裡使用這個策略買賣股票。其中有的人比較幸運，遇到很多個週期都是增長80%，很少的週期是下跌60%。而那些不幸的人則是很多週期下跌60%，在很少的週期上漲80%。
其中最幸運的那個人，是連續52周裡全都是上漲80%，他的收入就是1萬乘以1.8的52次方，等於1.88×10^13萬。而最不幸運的人，也不過就是把錢賠光了，並不會出現一個負數。把幸運者和不幸者都加在一起，取個平均數，結果就是每個人賺了142萬元。
說的再明白一點，我們乾脆考慮一個只有四個投資者、總共玩了兩週的情況。從概率平等角度，其中會有一個人在兩週內都是增長80%，那麼他的1萬元就變成了32400元。有一個人在第一週漲，第二週跌，還會有一個人是第一週跌，第二週漲，這兩個人代表了多數，代表了*最可能*的結果，就是1.8×0.4，1萬元變成7200元。然後還有一個不幸的人，兩週內都下跌，也就是0.4×0.4，他的1萬元變成了1600元。
這四個人的收入分別是32400元、7200元、7200元和1600元。四人的平均值是12100元，正好是1萬元1.1×1.1。而四人的*最可能結果*，則是中間的這兩個7200元。最可能值，遠遠小於平均值。
如果你的初等數學還很熟，你會立即注意到，所謂最可能結果，其實就是用1.8和0.4這兩個數的“幾何平均值”算出來的；而所謂“市場平均結果”，則是用1.8和0.4的算術平均值算出來的。而數學告訴我們，幾何平均值總是小於算術平均值。
這就是為什麼個人的最大可能性是打不過市場。我們為了突出說明問題，用了一組極端的數字，但“幾何平均值總是小於算術平均值”這個性質對所有數字都是適用的。換一組數字你不一定賠錢，但你還是無法打敗市場。
這也是塔勒布說的“這個系統沒有遍歷性”。一群人做一件事取得的平均值，和一個人經歷這件事很多很多次，是不一樣的。
我再換個說法你就更容易理解了。市場上特別幸運的人，會獲得鉅額的收入，他們強烈地拉高平均值。而特別不幸運的人和中等幸運的人的表現其實差不多 —— 最多也就是賬戶清零而已，並不會強烈地拉低平均值。那麼結果就是平均值受到了少數幸運者的強烈影響。
股票也有幸運的和不幸運的。標準普爾指數有500只股票，是廣撒網，其中一定會網羅到少數幸運的股票，是這些幸運股票使得標準普爾指數偏高。普通投資者一會兒買幸運股票一會兒買不幸運股票，就算各佔一半，因為你是幾何平均值，你就不如標準普爾手裡永遠握有幸運股票。
現在總結一下，買股票一共有三種方法，以我們今天這個設定為例 ——
1. 總共只有1萬元資金，每次都全部投入買一隻股票。運氣特別好的話可以掙很多很多錢，但最可能結局是幾何平均值，變成1.95元。
2. 總共有52萬元資金，每週投入1萬元買股票，週末賣出。結果是一年下來有10%的利潤，變成57.2萬元。
3. 如果資金和時間充裕到可以不顧交易成本，去買市場所有的股票，那麼就按照市場算數平均值滾雪球，一年下來變成140倍。
當然因為我們設定了80%和60%這兩個大數字，這個結果顯得比較誇張，但意思是這個意思。
第一種是個人常見的投資方法。第二種是小打小鬧。第三種，是大盤指數。
生活中其實也是這樣。北京市的平均收入一公佈，就有很多人表示自己給北京拖後腿了 —— 絕大多數人的收入都是在平均水平之下。
這完全符合數學，根本原因就是收入特別高的人貢獻太大了。
如果北京市政府允許市民放棄工作自主權，選擇領取全市平均工資，我想大多數人都會樂意的。而在股市上，就真的有這麼好的事兒，那就是別自己胡亂選股了，老老實實買指數基金。這恰恰是巴菲特最愛給人提的炒股建議。
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