本文主要内容：已知x^2+y^2=1,求x+y和xy的最值。
解：先求x+y的最值问题。
思路一：设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。
x^2+(k-x)^2=1
x^2+k^2-2kx+x^2=1
2x^2-2kx+k^2-1=0
判别式△=4k^2-8(k^2-1)≥0
-4k^2≥-8
k^2≤2，即：-√2≤k≤√2.
所以x+y的最大值为√2，最大值为-√2。
思路二：利用三角函数换元，求得x+y的最大值。
由x^2+y^2=1，设x=cost，y=sint，则：
x+y=cost+sint
=√2(sint+π/4).
当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√2；
当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√2；
思路三：不等式法
∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2
∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)
即：
(x+y)^2≤2，则：
-√2≤x+y≤√2.
此时x+y的最小值=-√2，最大值=√2。
下面求xy的最值。
思路一：直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。
xy
=x√(1-x^2)
=±√[x^2(1-x^2)]
=±√[(1/4)-(x^4-x^2+1/4)]
=±√[(1/4)-(x^2-1/2)^2].
则xy的最大值为1/2,最小值为-1/2.
思路二：换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。
x^2+y^2=1
x^2+p^2/x^2=1
x^4-x^2+p^2=0
判别式△=1-4p^2≥0,即：
p^2≤1/4
-1/2≤p≤1/2
此时得xy=p的最大值=1/2，最小值=-1/2.
思路三：三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。
由x^2+y^2=1，设x=cost，y=sint，则：
xy=cost*sint
=(1/2)sin2t
=1/2sin2t
当sin2t=1时，x+y有最大值=1/2；
当sin2t=-1时，x+y有最小值=-1/2.
思路四：不等式法。
∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|
∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=1/2
即：-1/2≤xy≤1/2.
则xy的最大值为1/2,最小值为-1/2.
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