從圓周率到實數分類
先設想一個酒徒在山寺狂飲，醉死山溝的情景：
“山巔一寺一壺酒（3.14159），兒樂（26），我三壺不夠吃（535897），酒殺爾（932）！殺不死（384），樂而樂（626）。死了算罷了（43383），兒棄溝（279）。”[前30位]
接著，設想“死者”的父親得知兒“死”後的心情：
“吾疼兒（502），白白死已夠悽矣（8841971），留給山溝溝（69399）。”[15位]
再設想“死者”父親到山溝裡尋找兒子的情景：
“山拐我腰痛（37510），我怕你凍久（58209），悽事久思思（74944）。”[15位]
然後，是父親在山溝裡把兒子找到，並把他救活，兒子迷途知返的情景：
“吾救兒（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四鄰樂（406），兒不樂（286），兒疼爸久久（20899）。爸樂兒不懂（86280）。‘三思吧（348）！’兒悟（25）。三思而依依（34211），妻等樂其久（70679）。”[最後40位]
沒錯，上面就是π的前100位了!
今天，在這個特殊的日子，讓我們從π出發，考慮實數的分類 !
有理數與無理數
有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱 。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。
由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。
有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。
無理數是所有不是有理數字的實數。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測量”，即沒有長度（“度量”）。
常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，歐拉數e，黃金比例φ等等。
可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。
代數數與超越數
形如
（
，n為正整數）的整係數（
為整數，
）代數方程的根x叫做“代數數”。
代數數可以定義為“有理係數多項式的復根”或“整係數多項式的復根”。
第一個定義可以具體描述為：
設z為複數。如果存在正整數n，以及n+ 1個有理數
，並且
，使得：
則稱z是一個代數數。
這個定義中，由於
可以推出
，其中整數
分別等於
，M是n+ 1個有理數
分母的最小公倍數。所以“存在有理係數多項式使得z是其復根”可以推出“存在整係數多項式使得z是其復根”。
另一方面，由於整數集合是有理數集合的子集，所以“存在整係數多項式使得z是其復根”也可以推出“存在有理係數多項式使得z是其復根”。
這說明兩個定義是等價的。
代數數在有理數下的“+”、“-”、“x”、“÷”運算中是封閉的，因此構成一個域，稱為代數數域。
不能作為有理代數方程的根的無理數，即不是代數數的數稱為超越數。因為歐拉說過：“它們超越代數方法所及的範圍之外。”而得名。
實數與代數數
代數數集包含了有理數集。然而，代數數集並不包含全部實數。
代數數集是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的無窮集，因此，一定存在不是代數數的實數。
現已證明 π和e這些無理數不是代數數，但不是所有的無理數都不是代數數。
由此可見，就實數集而言，實數既可按有理數和無理數分為兩類，又可按實代數數和實超越數分為兩類。實代數數集是有理數集的自然擴充。
回到π
瑞士科學家約翰·海因裡希·蘭伯特於1761年證明π是個無理數，即不可表達成兩個整數之比。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更證明了π是超越數，即π不可能是任何整係數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數，而超越數不是代數數。
化圓為方問題是指已知單位長度1，要作出
的長度。這等價於從1開始作出
。然而，能夠用尺規作出的數z都有對應的最小多項式。也就是說，存在有理係數的多項式m，使得
然而，1882年，林德曼等人證明了對於圓周率
來說，這樣的多項式不存在。所有規矩數都是代數數，而
不是，這說明用尺規作圖是無法化圓為方的。
林德曼證明
的超越性用到了稱為林德曼－魏爾斯特拉斯定理的結論。林德曼－魏爾斯特拉斯定理說明，如果若干個代數數
在有理數域
上線性獨立，那麼
也在
上線性獨立。
反設
是代數數，那麼
也是代數數。考慮代數數0和
，由於
是無理數，所以它們在
上線性獨立。然而
和
分別是1和-1，並非在
上線性獨立，矛盾。
這說明
不是代數數，而是超越數。
國際圓周率日
2011年，國際數學協會正式宣佈，將每年的3月14日設為國際數學節，來源則是中國古代數學家祖沖之的圓周率。
國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學博物館的物理學家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運動，並一起吃水果派。之後，舊金山科學博物館繼承了這個傳統，在每年的這一天都舉辦慶祝活動。
2009年，美國眾議院正式通過一項無約束力決議，將每年的3月14日設定為“圓周率日”。決議認為，“鑑於數學和自然科學是教育當中有趣而不可或缺的一部分，而學習有關π的知識是一教孩子幾何、吸引他們學習自然科學和數學的迷人方式……π約等於3.14，因此3月14日是紀念圓周率日最合適的日子。”
趣聞事件
在谷歌公司2005年的一次公開募股中，共集資四十多億美元，A股發行數量是14,159,265股，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟件TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.1415926。
每年3月14日為圓周率日。“終極圓周率日”則是1592年3月14日6時54分（因為其英式記法為“3/14/15926.54”，恰好是圓周率的十位近似值）和3141年5月9日2時6分5秒（從前往後，3.14159265）。
7月22日為圓周率近似日（英國式日期記作22/7，看成圓周率的近似分數）。
有數學家認為應把“真正的圓周率”定義為2π，並將其記為τ（發音：tau）。
閱讀更多 語文迷 的文章
