一.模型名称由来
【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立
如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3
三.“阿氏圆”模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第一步：连接动点于圆心O（一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连），即连接OB、OP；
第二步：计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况，如例子中的OP/OB=k;
第三步：在OB上取点C，使得OC/OP=OP/OB(核心关键步骤）
第四步：连接AC，与⊙O的交点即为点P.
【核心步骤另单独解析】
回顾图2，在OB上取点C构建,OC/OP=OP/OB的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接破解。
将图2中△BPO单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO与△BPO有公共角∠O，且OC/OP=OP/OB（在某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O、∠B=∠OPC）
（构造出△PCO∽△BPO后可以得到OC/OP=OP/OB，进而推出OP^2=OB·OC,即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC长度“阿氏圆”即可破解）
四.“阿氏圆”典型例题讲解
例1：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+0.5BP的最小值.
例 2：已知扇形 COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是弧 CD 上一点，求
2PA+PB 的最小值.
例 3：如图 1，已知 AC=6，BC=8，AB=10，⊙C 的半径为 4，点 D 是⊙C 上的动点，连接
AD、BD，则 AD+0.5BD的最小值为？
五.“阿氏圆”实战训练
学会方法要加强练习，这样才能变成自己的知识，希望此文对同学们有所帮助。
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