平行线永不相交是大家一直熟知的定理，但你知道吗？这只在欧式几何中成立，在不同的体系下，平行线有可能相交。
首先讲一下最传统的欧式几何，即平面几何。欧式几何起源于公元前3世纪，由欧几里得发表《几何原本》是欧式几何诞生的标志，传说他是看到墙角的蜘蛛沿着蜘蛛网爬行，联想到3维空间里用3个坐标轴表示一个点。欧几里得在其中提出5条公理，即：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
这里需要讲一下“公理”与“定理”的区别：“公理”是不需要证明，具有自明性的，而“定理”必须要通过“公理”或者别的“定理”来证明。
欧几里得就是通过这5条公理，有条不紊地由简单到复杂证明了一系列命题，其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。但是有人仔细研究了欧几里得对其他定理地证明，发现整本书中仅在第29个命题才用到一次，于是一些数学家提出：能否把第5条公理改成定理，并通过其他公理证明出来？这就是几何历史上最著名，争论了长达2000多年的对“平行线理论”的讨论。
此时俄国教授罗巴切夫斯基想到了反证法，欧几里得的第5条公理认为“过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行”，罗巴切夫斯基将其改为“过直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行”。他认为改掉这条公理之后，将会得出自相矛盾的说法，以此证明欧式几何的正确性。然而在他深入研究之后，却得出了一个匪夷所思但却毫无矛盾的命题，最后他得出结论：欧氏几何第五条公理无法被证明。在他的新公理之下，逐渐发展出一套全新理论——罗氏几何。罗氏几何的创新型在于平面不再是平的，而是弯曲的，因此也成为双曲几何。这也是平时经常听到的“曲面上三角形内角和不是180度”的来源，即三角形内角和公式：三角形内角和等于π减去高斯曲率K在三角形所围曲面上的积分(单位rad)。
就在人们以为几何体系已经完善时，又有一位天才数学家想到了一个更加荒唐的想法：把欧氏几何第5条公理改成：过直线外一点无法做出已知直线的平行线。即不承认平行线的存在，这就是著名的“黎曼几何”，又称“椭圆几何”。经过研究，发现球面恰好可以满足这种几何关系。以地球为例，地球的经度线就是平行线，但它们都相交于南北极。
至此，三大几何体系地位就此确定。三大几何体系各有区别，但又各形成一套严密公理体系。在日常生活中，欧氏几何为主题，在宇宙空间中，罗氏几何更有说服力，而以地球为主的航海等活动，黎曼几何是主角。
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