專題四 平面向量的數量積
1.平面向量的數量積
例 1：（1）四邊形 ABCD中， 1BC ， 2AC ， 90ABC ， 90ADC ，則 AC BD 的
取值範圍是___________
變式 1：在直徑 AB 為 2 的圓上有長度為 1 的動弦CD，則 AC BD 的取值範圍是________
變式 2：如圖，邊長為 1 的正三角形 ABC 的頂點 A ， B 分別在 x軸， y 軸的正半軸上滑動，
則OC AB 的取值範圍是___________．
（2）在平行四邊形 ABCD中，| | 2AD ，| | 4CD ， 60ABC ，E ，F 分別是 BC ，CD
的中點， DE 與 AF 交於H ，則 AH DE的值為__________
變式：在斜三角形 ABC 中，6
3AC AB ，D 是 BC 中點，E 在 AB 邊上， 2AE BE ，AD
與CE 交於點O ，若 AB AC AO EC ，則 ．
（3）若 ABC 外接圓圓心為O ，半徑為 4，且 2 2 0OA AB AC ，則CA CB 的值為____
變式：如圖，在平面四邊形 ABCD中，AD BD ，AC BC ，且 2AD ， 5AC ，則 AB DC
的值為 ．
2. 向量的幾何意義
例 3：已知平面向量 a ，b ，c 滿足對任意 x R 都有 | | | |a xb a b ，| | | |a xc a c 成
立， | | | | 1a c b c ， | | 3a b ，則 | |a 的值為__________
變式：已知 ,a b 是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足1
| |2
c a ，則
| | 2 | |a b c c b 的最小值為 ．
例 4：已知點O 是 ABC 內部一點，並且滿足 2 3 0OA OB OC ， BOC 的面積為 1S ，
ABC 的面積為 2S ，則1
2
S
S _________
變式 1：如圖所示，點G 是 ABC 內一點，若 7AGBS ， 5BGCS ， 6AGCS ，
且 AG xAB yAC ，則 x y ___________
變 式 2 ： 在 ABC 中 ， 4AB ， 5AC ，3
BAC
， H 為 ABC 內 一 點 ，
: : 2 : 3 : 5HAB HCB HACS S S ，則 HA HC ．
變式 3：若O 是 ABC 垂心，6
A
且 sin cos sin cos 2 sin sinB C AB C BAC m B C AO ，則
m ____________
變 式 4 ： 已 知 O 為 銳 角 三 角 形 ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 ， tan 2A ， 若
cos cos2
sin sin
B CAB AC mAO
C B ，則m 的值為___________
變式 5：已知 ABC 的內角 A 、B 、C 的對邊分別為 a、b 、c ，且7
cos8
A ，I 為 ABC 內
部的一點，且 0aIA bIB cIC ，若 AI xAB yAC ，則 x y 的最大值為________
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