式(7)

那麼怎麼把(7)式與向量的內積聯繫起來？

圖2 函數的黎曼分割

在圖 2中，將定義域[a,b]均勻等分為 N段，這樣的分割稱為黎曼分割。學過微積分的讀者應該對上面這個圖非常熟悉。函數 f(x)在定義域[a,b]上表示的曲線段，到 x軸[a,b]上的這一塊不規則圖形的面積可以近似為圖中一塊一塊長方體面積的和，也就是

式(8)

設想一下，將 g(x)這段曲線以 x軸為中心軸旋轉 90度，並作出如圖 3所示的不規則柱狀體。

圖 3 函數內積的示意圖

這個柱狀體的體積可以近似地表示為

式(9)

觀察(9)式與(5)式，在形式上只相差一個Δx.當分割趨於無窮大時

此時Δx可以用微分元 dx表示，即

於是

式(10)

這就是兩個函數的內積的形象示意。

如果

則說函數 f(x)和 g(x)在定義域[a,b]上是相互正交的，表示為 f(x)⊥g(x).

那麼，這個"函數的內積"與傅里葉級數或傅里葉變換有什麼關係呢？

傅里葉級數（變換）

對於一個基本週期為 2π的週期函數，其複數形式的傅里葉級數展開為

式(11)

係數的表達式為

式(12)

其中 j是虛數單位，用 j表示虛數單位是電子學裡的習慣，以與電流 i作區別。而 Fn是一個複數。

可以發現，把函數視作向量後，(11)式與(6)式是很相似的，(12)式與(10)式很相似。是何道理呢？

道理在於，既然把函數視作向量後，向量是可以用座標表示的，這是(6)式的意義所在，而且這個座標系最好是正交座標系。那就要找出一個在定義域上的函數向量正交座標系。

設定義域[a,b]上有一組函數向量正交基

式(13)

這是一組無限維的向量基，這是與有限維空間座標系的重要區別。則對於定義在[a,b]上的黎曼可積的實函數 f(x)可展開為

式(14)

其中αi是一個實數。根據向量的運算關係，有

式(15)

這樣，(14)式中的係數可表示為

式(16)

這時(14)式又和(11)式對應起來了，而(16)式又和(12)式對應起來了。當然，實函數與複函數的情況是有區別的。

在複數形式的傅里葉級數中

式(17)

正是定義域[0,2π]上的一組復正交座標系。有

上面(12)式與(16)式的區別在於，兩個複函數求內積時，要對其中一個複函數求共軛。

當函數為非週期函數時，傅里葉級數就擴展為傅里葉變換和傅里葉反變換。傅里葉變換

中是將非週期信號看成是週期為無窮大的週期信號，因此替換(11)式中的 x為 2πt/T，對 T→∞求極限，而當 T→∞時，2π/T就變成了角頻率的微分元。即

而 nΔω可以寫成ω，即ω=nΔω，n=ω/Δω於是改寫(11)式

式(18)

顯然，上面這個式子是不收斂的。為了確保其收斂，在左右兩邊同除以週期 T，也就是要關於週期求平均。

式(19)

需要注意的是，此時因為週期 T是常數，所以Δω也是個常數，但ω是變數。所以可以改寫(19式)為

式(20)

現在開始對 T→∞求極限，求和變成積分

式(21)

這就是非週期函數的傅里葉反變換。

到了這一步我們要求出係數方程。對於一個特定的ω0，對(21)式兩邊求積分。

式(22)

對(22)式關於 T→∞求極限，並結合前面關於正交基的討論，有

進而

又因為ω0是任意的，所以有傅里葉變換

式(23)

總結與補充

透過現象看本質。一個通常的（只說常見的函數，此文不作展開）可積函數是無限維函

數向量空間上的一個向量。既然是向量就要符合向量的運算法則，而傅里葉級數展開與傅裡

葉變換正是要尋找此向量空間中的一組正交座標基，這組座標基的每一個座標分量也是一個

函數——正弦函數或復指數函數。在使用傅里葉級數展開和傅里葉變換時，需要注意以下幾

點：

①如果向量所在的空間是剛性的，即一個向量在空間中作平移、旋轉等運動時，向量不

會被伸縮和扭曲。則向量的內積與座標系無關。在(2)式中，是兩個正交座標系下的向量的內積，而(10)式中的函數向量內積是在仿射座標系下的內積，這個內積與正交座標系下求得的內積應該是相等的。也就是說對(11)式的函數作內積

式(24)

②當函數是定義域為實數的複函數時，求函數內積的時候要對其中一個函數取共軛，如

(24)式；

③在(24)式右側既然是一個無窮級數，就要考慮收斂性。也就是說 n→±∞時，Fn→0。

而如果(23)式成立，要滿足

如果 f(t)代表的物理量是電壓或電流，則意味著在一段足夠長的時間裡，能量也是有限的，

否則不能用傅里葉變換。