大數學家希爾伯特說過：“數學領域任何分支的第一個和最古老的問題都來自經驗，並由外部現象的世界得到啟示”。對觸感的冷熱、對物體的輕重、對運動的快慢的感知等導致了溫度、質量、速度等概念的產生；而對距離的遠近、區域的範圍或物體的大小的體驗則促成了一門專門研究點、線、面、體的學科----幾何學的誕生，並引入了長度、面積、體積等測度來度量它們的大小。
一切看起來如此和諧完美。然而，當你觀察一根縫衣線，一塊足球場以及球場上翻飛的足球，碼頭上巨大的集裝箱時，它們真的是如傳統歐式幾何中所刻畫的那樣，就是一根直線，一個矩形，一個球體或一個立方體嗎？它們的長度、面積、體積真是如你所想，拿一把尺子就可以測量，然後用公式計算出來嗎？
事情似乎沒那麼簡單。你看到了那根縫衣線上到處伸出來的毛糙的棉纖維了嗎？你看到了球場、足球、集裝箱那彎彎曲曲的邊緣和凹凸不平的表面了嗎？如果讓你在顯微鏡下重新測量，你還敢說它們還是一根直線、一塊平面或一個球、一個立方體嗎？
綠茵場上的足球
傳統的歐式幾何，採用了對物體的一種“美化”或是“粗粒化”處理，即忽略掉物體的不光滑的粗糙的細節，而把它們看成是光滑的、有著規則形狀的幾何形體；數學上這樣處理的例子比比皆是，例如把每天的平均氣溫用曲線進行擬合，使得離散的觀測數據看上去更像是一條連續不斷的曲線。對觀測對象的抽象化、規範化，對離散對象的連續化、光滑化，幾乎是用數學來研究具體問題的基本思想方法；在經典數學眼中，看到的是一個被“理想化”的世界；這是合情合理的，這樣做便於數學上的處理，使得人們可以利用各種數學工具，更快更清晰地探及事物變化的規律。然而，這樣做真的好嗎？也許，是時候去直面真實的世界了。
毛茸茸的桃子
真實的世界，是非規則的和複雜的。過去，科學家們習慣於將自然界的非規則性歸為理想狀態下的一些小缺陷並予以忽略，諸如光滑桃子表皮上那些細小的茸毛，橙子上那些凹陷的小孔，平靜水面上微微泛起的波紋，在歐式幾何下都可以被合理地完全無視。兩個世紀前，高斯和勒讓德想從一大堆不精確的觀測數據中估計小行星的橢圓軌道時，發展了為後人所熟知的最小二乘法，遵循的也是同樣的邏輯。
波光粼粼的湖面
然而，正如曼德布羅特1982年 在《自然界的分形幾何》中所說的：“雲朵不是球體，山巒不是錐體，海岸線不是圓環，樹皮不是光滑的，閃電也不是直線傳播的。”一直被忽略掉的粗糙度，讓理論和真實世界之間始終存在一層隔閡。而曼德布羅特的一個振聾發聵的問化：“英國的海岸線有多長？”則像一個宣言，為一直被人們所忽略的粗糙度搖旗吶喊，讓它理直氣壯地站在了科學的聚光燈下，為人們展示了一個前所未有的、更接近於真實的奇異世界----分形幾何的世界。
變幻莫測的曼德布羅特集分形圖
分形花
分形花
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