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【知識要點】
要點一、二元一次方程
含有兩個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．
要點詮釋：二元一次方程滿足的三個條件：
（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.
（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.
（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.
要點二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的一組解．
要點詮釋：
(1)二元一次方程的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來，如：
．
(2)一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數多對數適合這個二元一次方程．
要點三、二元一次方程組
把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.
要點詮釋：組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如
也是二元一次方程組.
要點四、二元一次方程組的解
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
要點詮釋：
(1)二元一次方程組的解是一組數對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成
的形式．
(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，
如方程組
無解，而方程組
的解有無數個．
【典型例題】
類型一、二元一次方程
【例1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．
(1)2x-5＝y； (2)x-1＝4； (3)xy＝3； (4)x+y＝6； (5)2x-4y＝7；
(6)
；(7)
；(8)
；(9)
；(10)
．
【思路點撥】按二元一次方程滿足的三個條件一一檢驗．
【答案】(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)滿足二元一次方程的概念．(2)為一元一次方程，方程中只含有一個未知數；(3)中含未知數的項的次數為2；(6)只含有一個未知數；(7)不是整式方程；(9)中未知數x的次數為2．
【總結昇華】判斷一個方程是否為二元一次方程的依據是二元一次方程的定義，對於比較複雜的方程，可以先化簡，再根據定義進行判斷．
舉一反三：
【變式】下列方程中，屬於二元一次方程的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【例2】若
是關於x、y的二元一次方程，求a的值．
【思路點撥】根據二元一次方程的定義作答．
【答案與解析】
解：根據題意得：|a|-2＝1，所以|a|＝3，a＝±3，而(a-3)x中，a-3≠0，即a≠3，所以a＝-3．
【總結昇華】二元一次方程和二元一次方程組中係數的求解，要同時考慮兩個未知數的係數與次數，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個未知數，含未知數的項的次數是一次且方程左右兩邊都是整式這三個條件．
舉一反三：
【變式1】已知方程
是二元一次方程，則m= ， n= .
【答案】-2，1/4
【變式2】方程
，當
時，它是一元一次方程．
【答案】
；
類型二、二元一次方程的解
【例3】二元一次方程x-2y＝1有無數多個解，下列四組值中不是該方程解的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：當x＝0，y＝-1/2時，x-2y＝1，故A是原方程的解．
當x＝1，y＝1時，x-2y＝-1，故B不是原方程的解．
當x＝1，y＝0時，x-2y＝1，故C是原方程的解．
當x＝-1，y＝-1時，x-2y＝1，故D是原方程的解．
【總結昇華】判斷一組數值是否是原方程的解，只需要將這組數值代入原方程，能使方程左右兩邊相等的未知數的值是原方程的解，否則，不是．
舉一反三：
【變式】若方程
的一個解是
，則a= .
【答案】3
【例4】已知二元一次方程
．
(1)用含有x的代數式表示y；(2)用含有y的代數式表示x；
(3)用適當的數填空，使
是方程的解．
【思路點撥】用含一個未知數的代數式表示另一個未知數，就是把要表示的未知數當未知數，把其他的未知數當已知數，然後再將方程變形．
【答案與解析】
解：(1)將方程變形為3y＝2-x/2，化y的係數為1，得
．
(2)將方程變形為
，化x的係數為1，得
．
(3)把x＝-2代入
得， y＝1．
【總結昇華】用含x的代數式表示y，其實質表示為“y＝含x的代數式”的形式．在進行方程的變形過程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．
舉一反三：
【變式】已知：2x+3y=7，用關於y的代數式表示x，用關於x的代數式表示y．
【答案】
解：（1）2x=7－3y，
；（2）3y=7－2x，
【例5】寫出二元一次方程
的所有正整數解.
【思路點撥】可以把二元一次方程中的一個未知數看成已知數，先解關於另一個未知數的一元一次方程，當兩個未知數的取值均為正整數才是方程的解，寫時注意按一定規律寫，做到不重、不漏.
【答案與解析】
解：由原方程得
，因為
都是正整數，
所以當
時，
.
所以方程
的所有正整數解為：
，
，
，
.
【總結昇華】對題意理解，要注意兩點：①要正確；②不重、不漏. 兩個未知數的取值均為正整數才是符合題意的解.
舉一反三：
【變式1】已知二元一次方程
，下列說法不正確的是（ ）
A.它有無數多組解 B.它有無數多組整數解
C.它有4組正整數解 D.它的解中不會出現負整數
【答案】D
【變式2】在方程
中，若y分別取2、1/4、0、－1、－4，求相應的x的值.
【答案】將
變形得
.
把已知
值依次代入方程的右邊，計算相應值，如下表：
類型三、二元一次方程組及方程組的解
【例6】下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A，B中未知數的次數高於或低於一次，而C中出現三個未知數，只有D選項滿足題意，故正確答案為D.
【總結昇華】是否是二元一次方程組要滿足“1、只有兩個未知數；2、未知數的項最高次數都應是一次；3、都是整式方程”．
【例7】判斷下列各組數是否是二元一次方程組
的解．
（1）
（2）
【答案與解析】
解：（1）把
代入方程①中，左邊＝2，右邊＝2，所以
是方程①的解．
把x＝3，y＝-5代入方程②中，左邊＝
，右邊＝-1，左邊≠右邊，所以
不是方程②的解．
所以
不是方程組的解．
（2）把
代入方程①中，左邊＝-6，右邊＝2，所以左邊≠右邊，所以
不是方程①的解，
再把
代入方程②中，左邊＝x+y＝-1，右邊＝-1，左邊＝右邊，所以
是方程②的解，但由於它不是方程①的解，所以它也不是方程組的解．
【總結昇華】檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.
舉一反三：
【變式】寫出解為
的二元一次方程組．
【答案】
解：此題答案不唯一，可先任構造兩個以
為解的二元一次方程，然後將它們用“{”聯立即可，現舉一例：
∵ x＝1，y＝-2，
∴ x+y＝1-2＝-1．
2x-5y＝2×1-5×(-2)＝12．
∴
就是所求的一個二元一次方程組．
注：任選的兩個方程，只要其對應係數不成比例，聯立起來即為所求．
【例8】(淮陽)甲、乙兩人共同解方程組
由於甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為
．乙看錯了方程②中的b．得到方程組的解為
．試計算：
的值．
【思路點撥】把x、y的值代入正確的方程，就可以求出字母的值．
【答案與解析】
解：把
代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．
把
代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，
所以
．
【總結昇華】一組數是方程的解，那麼它一定滿足這個方程，利用方程解的定義可以求出方程中其他字母的值，所以在今後的學習中要會靈活運用它．
舉一反三：
【變式】已知關於
的二元一次方程組
，求
．
【答案】
解：將
代入原方程組得：
，解得
， 所以
．
轉載請註明：軒爸輔導 » 數學七下，第二章，二元一次方程組的概念，知識要點和典型例題
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