每次提到数学这个词，大家能够想到的就是初等代数，平面几何，组合运算，微积分，线性代数，概率论等方向。但在整个
数学领域（Earth of Math）上，还有很多更有意思的领域和研究方向，包括数论，几何，拓扑，分形几何，分析，概率统计，博弈论，代数等诸多方向，每一个方向都有很多优秀的数学家在从事相关研究。
Earth of Mathematics
当年在数学系的时候，所研究的方向是分形几何（Fractal Geometry）和复动力系统（Complex Dynamics），位于 Earth of Math 的左侧，称之为分形湖泊（Fractal Lakes）。所谓分形，其实是一个粗糙或者零碎的集合形状，可以分成多个部分，且每个部分放大之后与整体有某种相似性，即具有自相似性的性质。而动力系统则是基于某种固定的规则，描述一个空间内的所有点随时间的变化情况，例如钟摆的晃动，水的流动，湖泊里面鱼类的数量。备注：动力系统并不是指汽车的动力系统和发动机引擎，这两者毫无关系。
而复动力系统则是动力系统中的一个分支，研究的是有理函数的迭代性质。所谓函数的迭代，指的是针对有理函数 f(z)，考察其定义域的点 z 的 n 次复合，得到 $f^{(n)}(z)=f\\circ\\cdots\\circ f(z)$，进一步可以研究 $\\lim_{n\\rightarrow +\\infty}f^{(n)}(z)$ 的极限。
针对不同的定义域，函数的迭代有着完全不同的研究方法。当时的研究方向是复动力系统（Complex Dynamical Systems）。复动力系统理论的研究始于 1920 年，当时是由数学家 Fatou 和 Julia 研究的，因此复动力系统中的两个重要的集合就是以 Fatou 和 Julia 来命名的，分别称之为 Fatou set 和 Julia Set。随着计算机技术的演进，在上世纪八十年代这些集合可以通过计算机进行可视化，分形几何和复动力系统理论开始蓬勃发展起来。在与双曲几何、分形几何、现代分析学和混沌学等学科发展相互促进的同时，围绕双曲猜想以及 Mandelbrot 集合的研究工作，成为当今复动力系统的研究热点。
举个例子，一个函数的 Julia 集合的如下所示：
Julia 集合
当然，科研的时候可不是做一点可视化就算完成任务了，还是需要按部就班的学习各种数学知识和技能。
之前在学校研究动力系统的时候，收集过一些书籍，在此列举给大家，希望对初学者有一定的帮助。One Dimensional Real and Complex Dynamics（实与复动力系统）需要学习的资料如下：
基础书籍：
复分析基础：本科生课程。学习数学知识自然需要循序渐进，除了必要的数学分析，高等代数之外，分析学则是动力系统所必备的知识之一。既然是复动力系统，那肯定就要集中于研究复分析，因此本科的复分析则是复动力系统的必修课之一。
(1) Complex Analysis, 3rd Edition, Lars V. Ahlfors
(2) Complex Analysis, Elias M. Stein
进阶复分析：研究生课程
到了研究生阶段，其实也不足以直接上手搞科研，需要进一步地学习黎曼曲面，拟共形映射等专业书籍，才能够为复动力系统的学习打下基础。
(1) Lectures on Riemann Surfaces (GTM 81), Otto Forster
(2) Lectures on Quasiconformal Mappings, Lars V. Ahlfors
实分析基础：本科生课程
研究动力系统，实分析也是其基础知识之一，无论是通过学习 Stein 还是 Rudin 的教材，都是为了进一步地了解基础知识。
(1) Real Analysis and Complex Analysis, Rudin
(2) Real Analysis, Elias M. Stein
专业书籍：
实动力系统：
(1) One Dimensional Dynamics, Welington de Melo & Sebastian VanStrien
这本书难度较大，上手的时候不建议直接看这本书。
One-Dimensional Dynamics
(2) Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics (Cambridge Studies in
Advanced Mathematics), Edson de Faria / Welington de Melo
Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics
复动力系统：
(3) Dynamics in One Complex Variable, John Milnor；Milnor 的教材总是写的清晰明确，容易上手，推荐初学者可以读这本书。
Dynamics in One Complex Variable
(4) Complex Dynamics, Lennart Carleson；Carleson 的教材偏向于分析学，读起来其实也有点难度，还是读 Milnor 的教材相对容易。
Complex Dynamics
(5) Complex Dynamics and Renormalization, Curtis T. McMullen；McMullen 的书适合当做查阅，也不太适合从头到尾读下去。
Complex Dynamics and Renormalization
(6) Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle, Curtis T. McMullen
Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle
(7) Iteration of rational functions (GTM 132), Alan F. Beardon
遍历论：
(8) An Introduction to Ergodic Theory (GTM 79), Walters Peter
学术会议
除了日常的科研之外，博士生时不时地可以去参加一下学术会议，不仅可以去参加本方向的学术会议，也可以去参加其它方向的学术会议，只要有一份邀请函即可。
如果是在 NUS 的 IMS（Institute for Mathematical Sciences）举办的学术会议，一般来说只要是在校的研究生都是可以参加的。记得当时参加的第一个学术会议是关于 PDE 的，标题叫做 Hyperbolic Conservation Laws and Kinetic Equations：Theory, Computation, and Applications（1 November – 19 December 2010）。笔者去听这个系列讲座是因为在 2010 年选择了一门 PDE 的研究生课程，而这个讲座则是作为课程的一部分。
IMS 的偏微分方程学术会议
笔者参与的另外一个学术会议则是关于动力系统的，标题叫做 Workshop on Non-uniformly Hyperbolic and Neural One-dimensional Dynamics（23 – 27 April 2012），主要是关于非一致双曲动力系统方向的研讨会。笔者记得当时所修的课程应该只有概率论（Probability II）一门课，因此上课的任务不算很重。参会的时间恰好是学期快结束的时候，科研的任务也不算特别繁重。因此，积极参与各种学术会议也算是科研的其中一部分，一来通过参会可以了解当前的学术研究情况，二来可以认识学术界的各种人士，也算是扩大学术交流圈子的好机会。
IMS 的动力系统学术会议
既然是学术会议，那自然就有各种各样的 Presentations，学术会议的第一天通常是需要有 IMS 的领导来致辞的，表示学术会议正式开始。每天的学术会议都需要有个 chair 来组织，一天的学术会议基本上是从早到晚，大约从早上 9:30 开始，到下午 4:40 结束。而每个学者汇报时间大约是 50 mins 左右。
第一天的研讨会安排
这次的学术会议是关于动力系统方向的，那师兄们自然是需要上台做报告的。当时上场的师兄包括大师兄和二师兄，至于三师兄和我则暂时没有成果可以汇报。两位师兄在 IMS 的报告厅里面做了十分精彩的成果展示，会议之后也有不少同行来与师兄们讨论问题。
同门汇报工作
一般来说，每次研讨会的开始和结束都需要有一个仪式，除了 IMS 的领导致辞表示会议开始之外，在茶歇时间（Coffee Break）期间是可以四处走动的，并且在第一次茶歇的时候，全体参会人员都会在 IMS 附近拍照留念，预祝本次研讨会成功举办。
Group Photo
论文
读到博士自然需要研究一下相应的课题，例如下面这种就是数学系博士生所研究的课题。
Question. 是否存在 l>=4 的偶数和复数 c 使得 f(z)=z^{l}+c 的 Julia 集合 J(f) 是正测度？
针对这个课题，数学系的博士生需要翻阅历史上的相关书籍和论文，阅读其相关论文才能够得到前沿技术和进展。当年花时间阅读的论文主要是几篇 Annals 上面的文章，参考资料也是这几篇文章，不过每一篇文章至少都是 40 页左右，基本上看一篇文章需要花几个月的时间。
1. Combinatorics, geometry and attractors of quasi-quadratic maps，Pages 345-404 from Volume 140 (1994), Issue 2 by Mikhail Lyubich
2. Wild Cantor attractors exist，Pages 97-130 from Volume 143 (1996), Issue 1 by Hendrik Bruin, Gerhard Keller, Tomasz Nowicki, Sebastian van Strien
3. Quadratic Julia sets with positive area，Pages 673-746 from Volume 176 (2012), Issue 2 by Xavier Buff, Arnaud Chéritat
4. Polynomial maps with a Julia set of positive measure，Nowicki, Tomasz, and Sebastian van Strien，arXiv preprint math/9402215(1994).
备注：第 4 篇文章 Polynomial maps with a Julia set of positive measure 里面有错误，通过其证明是无法得到最终结论的，因此是否存在正测度的 Julia 集合一直是未知的。直到 2012 年的第 3 篇文章出来，才算证明了二次多项式存在正测度的 Julia 集合。但是对于高次多项式，是否存在正测度的 Julia 集合则是完全未知的。
在拿到论文和课题之后，那就开始需要研究了。草稿纸也算了一张又一张，论文也打印了一份又一份，科研之路哪有一帆风顺的，基本上都是历经曲折，才能够达到毕业的彼岸。毕业的时候写了一篇文章
《科研这条路》，以此来纪念读博五年的生涯。
理想与现实
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