數學專業的研究生每天在研究什麼？

每次提到數學這個詞，大家能夠想到的就是初等代數，平面幾何，組合運算，微積分，線性代數，概率論等方向。但在整個

Earth of Mathematics

當年在數學系的時候，所研究的方向是分形幾何（Fractal Geometry）和復動力系統（Complex Dynamics），位於 Earth of Math 的左側，稱之為分形湖泊（Fractal Lakes）。所謂分形，其實是一個粗糙或者零碎的集合形狀，可以分成多個部分，且每個部分放大之後與整體有某種相似性，即具有自相似性的性質。而動力系統則是基於某種固定的規則，描述一個空間內的所有點隨時間的變化情況，例如鐘擺的晃動，水的流動，湖泊裡面魚類的數量。備註：動力系統並不是指汽車的動力系統和發動機引擎，這兩者毫無關係。

而復動力系統則是動力系統中的一個分支，研究的是有理函數的迭代性質。所謂函數的迭代，指的是針對有理函數 f(z)，考察其定義域的點 z 的 n 次複合，得到 $f^{(n)}(z)=f\\circ\\cdots\\circ f(z)$，進一步可以研究 $\\lim_{n\\rightarrow +\\infty}f^{(n)}(z)$ 的極限。

針對不同的定義域，函數的迭代有著完全不同的研究方法。當時的研究方向是復動力系統（Complex Dynamical Systems）。復動力系統理論的研究始於 1920 年，當時是由數學家 Fatou 和 Julia 研究的，因此復動力系統中的兩個重要的集合就是以 Fatou 和 Julia 來命名的，分別稱之為 Fatou set 和 Julia Set。隨著計算機技術的演進，在上世紀八十年代這些集合可以通過計算機進行可視化，分形幾何和復動力系統理論開始蓬勃發展起來。在與雙曲幾何、分形幾何、現代分析學和混沌學等學科發展相互促進的同時，圍繞雙曲猜想以及 Mandelbrot 集合的研究工作，成為當今復動力系統的研究熱點。

舉個例子，一個函數的 Julia 集合的如下所示：

Julia 集合

當然，科研的時候可不是做一點可視化就算完成任務了，還是需要按部就班的學習各種數學知識和技能。

之前在學校研究動力系統的時候，收集過一些書籍，在此列舉給大家，希望對初學者有一定的幫助。One Dimensional Real and Complex Dynamics（實與復動力系統）需要學習的資料如下：

基礎書籍：

複分析基礎：本科生課程。學習數學知識自然需要循序漸進，除了必要的數學分析，高等代數之外，分析學則是動力系統所必備的知識之一。既然是復動力系統，那肯定就要集中於研究複分析，因此本科的複分析則是復動力系統的必修課之一。

(1) Complex Analysis, 3rd Edition, Lars V. Ahlfors

(2) Complex Analysis, Elias M. Stein

進階複分析：研究生課程

到了研究生階段，其實也不足以直接上手搞科研，需要進一步地學習黎曼曲面，擬共形映射等專業書籍，才能夠為復動力系統的學習打下基礎。

(1) Lectures on Riemann Surfaces (GTM 81), Otto Forster

(2) Lectures on Quasiconformal Mappings, Lars V. Ahlfors

實分析基礎：本科生課程

研究動力系統，實分析也是其基礎知識之一，無論是通過學習 Stein 還是 Rudin 的教材，都是為了進一步地瞭解基礎知識。

(1) Real Analysis and Complex Analysis, Rudin

(2) Real Analysis, Elias M. Stein

專業書籍：

實動力系統：

(1) One Dimensional Dynamics, Welington de Melo & Sebastian VanStrien

這本書難度較大，上手的時候不建議直接看這本書。

One-Dimensional Dynamics

(2) Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics (Cambridge Studies in

Advanced Mathematics), Edson de Faria / Welington de Melo

Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics

復動力系統：

(3) Dynamics in One Complex Variable, John Milnor；Milnor 的教材總是寫的清晰明確，容易上手，推薦初學者可以讀這本書。

Dynamics in One Complex Variable

(4) Complex Dynamics, Lennart Carleson；Carleson 的教材偏向於分析學，讀起來其實也有點難度，還是讀 Milnor 的教材相對容易。

Complex Dynamics

(5) Complex Dynamics and Renormalization, Curtis T. McMullen；McMullen 的書適合當做查閱，也不太適合從頭到尾讀下去。

Complex Dynamics and Renormalization

(6) Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle, Curtis T. McMullen

Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle

(7) Iteration of rational functions (GTM 132), Alan F. Beardon

遍歷論：

(8) An Introduction to Ergodic Theory (GTM 79), Walters Peter

學術會議

除了日常的科研之外，博士生時不時地可以去參加一下學術會議，不僅可以去參加本方向的學術會議，也可以去參加其它方向的學術會議，只要有一份邀請函即可。

如果是在 NUS 的 IMS（Institute for Mathematical Sciences）舉辦的學術會議，一般來說只要是在校的研究生都是可以參加的。記得當時參加的第一個學術會議是關於 PDE 的，標題叫做 Hyperbolic Conservation Laws and Kinetic Equations：Theory, Computation, and Applications（1 November – 19 December 2010）。筆者去聽這個系列講座是因為在 2010 年選擇了一門 PDE 的研究生課程，而這個講座則是作為課程的一部分。

IMS 的偏微分方程學術會議

筆者參與的另外一個學術會議則是關於動力系統的，標題叫做 Workshop on Non-uniformly Hyperbolic and Neural One-dimensional Dynamics（23 – 27 April 2012），主要是關於非一致雙曲動力系統方向的研討會。筆者記得當時所修的課程應該只有概率論（Probability II）一門課，因此上課的任務不算很重。參會的時間恰好是學期快結束的時候，科研的任務也不算特別繁重。因此，積極參與各種學術會議也算是科研的其中一部分，一來通過參會可以瞭解當前的學術研究情況，二來可以認識學術界的各種人士，也算是擴大學術交流圈子的好機會。

IMS 的動力系統學術會議

既然是學術會議，那自然就有各種各樣的 Presentations，學術會議的第一天通常是需要有 IMS 的領導來致辭的，表示學術會議正式開始。每天的學術會議都需要有個 chair 來組織，一天的學術會議基本上是從早到晚，大約從早上 9:30 開始，到下午 4:40 結束。而每個學者彙報時間大約是 50 mins 左右。

第一天的研討會安排

這次的學術會議是關於動力系統方向的，那師兄們自然是需要上臺做報告的。當時上場的師兄包括大師兄和二師兄，至於三師兄和我則暫時沒有成果可以彙報。兩位師兄在 IMS 的報告廳裡面做了十分精彩的成果展示，會議之後也有不少同行來與師兄們討論問題。

同門彙報工作

一般來說，每次研討會的開始和結束都需要有一個儀式，除了 IMS 的領導致辭表示會議開始之外，在茶歇時間（Coffee Break）期間是可以四處走動的，並且在第一次茶歇的時候，全體參會人員都會在 IMS 附近拍照留念，預祝本次研討會成功舉辦。

Group Photo

論文

讀到博士自然需要研究一下相應的課題，例如下面這種就是數學系博士生所研究的課題。

Question. 是否存在 l>=4 的偶數和複數 c 使得 f(z)=z^{l}+c 的 Julia 集合 J(f) 是正測度？

針對這個課題，數學系的博士生需要翻閱歷史上的相關書籍和論文，閱讀其相關論文才能夠得到前沿技術和進展。當年花時間閱讀的論文主要是幾篇 Annals 上面的文章，參考資料也是這幾篇文章，不過每一篇文章至少都是 40 頁左右，基本上看一篇文章需要花幾個月的時間。

1. Combinatorics, geometry and attractors of quasi-quadratic maps，Pages 345-404 from Volume 140 (1994), Issue 2 by Mikhail Lyubich

2. Wild Cantor attractors exist，Pages 97-130 from Volume 143 (1996), Issue 1 by Hendrik Bruin, Gerhard Keller, Tomasz Nowicki, Sebastian van Strien

3. Quadratic Julia sets with positive area，Pages 673-746 from Volume 176 (2012), Issue 2 by Xavier Buff, Arnaud Chéritat

4. Polynomial maps with a Julia set of positive measure，Nowicki, Tomasz, and Sebastian van Strien，arXiv preprint math/9402215(1994).

備註：第 4 篇文章 Polynomial maps with a Julia set of positive measure 裡面有錯誤，通過其證明是無法得到最終結論的，因此是否存在正測度的 Julia 集合一直是未知的。直到 2012 年的第 3 篇文章出來，才算證明了二次多項式存在正測度的 Julia 集合。但是對於高次多項式，是否存在正測度的 Julia 集合則是完全未知的。

在拿到論文和課題之後，那就開始需要研究了。草稿紙也算了一張又一張，論文也打印了一份又一份，科研之路哪有一帆風順的，基本上都是歷經曲折，才能夠達到畢業的彼岸。畢業的時候寫了一篇文章

理想與現實

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