極簡微積分——萊布尼茨對曲線和微分的思考

現代微積分對導數的定義是：

(1)

但是極限理論是到了19世紀初建立起來的，那麼萊布尼茨在沒有極限理論的情況下是怎樣定義導數的呢？（關於微分的定義可參見 ）

萊布尼茨的無窮小量

在萊布尼茨那個年代，關於微積分的偉大數學思想是建立在“無窮小”這個概念的基礎上的。對於(1)式，萊布尼茨認為當Δx趨於0時，Δx和Δy都會變的“無窮小”,因此可以想象dy/dx作為兩個無窮小的商的極限，也是一個商，它的分子分母分別被標識為dy和dx。萊布尼茨認為無窮小是一個很特殊的數字，它不是0，但它比所有正數都要小。

圖1

圖1是對萊布尼茨無窮小思想的幾何版本解釋。在無窮小的觀點下，一條曲線被認為是有無窮多個長度無窮小的線段連接組成，這條曲線的一條切線就是包含曲線中一個無窮小線段的直線。為了找到曲線上一點P(x,y)的斜率，我們沿曲線移動一個無窮小的距離到達Q(x+dx,y+dy)，連接這兩點的是一個長度為無窮小的線段，我們能夠計算出這個小線段的斜率就是這兩個無窮小增量的商——dy/dx。

萊布尼茨用dy和dx來記錄因變量y和自變量x對應的無窮小增量，下面來看萊布尼茨怎樣處理這樣的函數：

（2）

如果我們讓(2)式中的y和x分別有無窮小的增量dy和dx，那麼上面的方程變為：

這時，萊布尼茨做了一次偉大的設想並實施如下：

(3)

他把dx的平方項給直接去掉了，並得出了(3)式，也就是我們熟悉的微分形式，萊布尼茨認為本身dx就是一個無窮小，那它的平方就是無窮小中的去窮小，可以忽略不計。由此他得出了導數dy/dx是分數，是兩個無窮小的商，並且以無窮小思想為基礎的微積分得到了廣泛的應用。

現代極限理論的完善

用萊布尼茨的無窮小觀點和現在極限理論作對比，將有助於我們對導數和微分進行更深刻的理解。我們用極限的方法同樣去處理(2)式，我們讓x有用一個非0的增量Δx，Δy是其因變量y的對應增量，同樣我們能獲得：

在這一步，我們沒有像萊布尼茨那樣直接把Δx的平方去掉，在現代理論方法下，我們在方程兩邊同時除以Δx(Δx不為0)，得到：

然後我們定義導數作為這個商在Δx趨於0時的極限：

（4）

(4)式把萊布尼茨的無窮小替換為了極限的計算。

事實上萊布尼茨的無窮小的設想是有缺陷的：我們能證明不存在比所有正數都小的正數。

萊布尼茨，歐拉，拉格朗日這樣的偉大數學家，在沒有精確數學理論支撐的時代，能夠對所研究問題的合理性和正確性有敏銳的直覺，儘管從我們今天來看是有些許缺陷和不嚴謹的。雖然萊布尼茨的差異已經被現代的極限理論所完善和替代，但是萊布尼茨的偉大發現和敏銳的直覺，仍然讓我們敬佩不已。