白雪卻嫌春色晚，故穿庭樹作飛花."唐朝詩人韓愈的《春雪》抒寫了對雪花的讚美。皚皚白雪，片片雪花，當我們看到漂亮的雪花時，綜奇於大自然的鬼斧神工。幹百年來，雪和長好花不因時間改變六角對稱的形式，而人類的智慧卻不斷加深對雪花的認識。
雪花可以入畫入詩，能否用數學作為工具揭示雪花的奧秘？怎樣形成？是什麼形狀？
瑞典數學家海里格·馮·科赫（1870-1924）於1904年在一篇題為《關於一條連續而無切線，可由初等幾何構作的曲線》的論文中，他給出一條奇怪的曲線，乍看上去就像是一片雪花，這條曲線就是著名的科赫雪花
不過，該曲線不同與尋常意義的建立在數學公式上的曲線，而是基於一個普普通通的等邊三角形，通過不斷摺疊，反覆迭代生成的。
他先畫一個正三角形，然後在每邊再畫一個邊長為一的小正三角形，接著再按上述方法，重複畫出越來越小的正三角形，這樣就畫出了一個美麗的雪花圖形，人們把它叫做"科赫雪花曲線"，它具有無窮大的周長和有限的面積。預示著一門嶄新的幾何--分形幾何即將誕生。
異曲同工之妙，畢達哥拉斯樹也是從一個簡單的、基本的圖形開始，按照一定的規律，生長繁衍成複雜有趣而美麗的圖形，我們能探尋圖形的邊長、周長、面積、個數等規律，與分形幾何聯繫緊密.
解這類問題的基本方法是：
（1）分析圖形生長的方式、規律；
（2）分析相關數量的特徵，找尋相關數量與圖形序號的聯繫，觀察發現，歸納猜想.
幾何圖形的生長，既可以是對內分割，又可以是向外拓展，經過相同程序的生長而產生的新的幾何圖形，圖形新穎優美，線條自然流暢，也為我們從量的方面探索留下巨大的空間.
自然界的許多圖形是如此不規則和支離破碎，如雲彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓，這些圖形的存在，激勵著法國傑出數學家曼德布羅特去研究"無定形"的形態，曼德布羅特是分形幾何的創始人，由於他那超越常人的思想和他在科學上的貢獻，使他在1985年榮府"巴納德獎章"
1975年曼德布羅特創造了分形（fractal）一詞，出版了一系列奠定分形學說的著作，他是20世紀影響廣泛且深遠的科學偉人，
曼德布羅特於1982年出版了《大自然的分形幾何學》，他的系列發現開創了一門嶄新的學科——分形幾何學.
1993年獲得沃爾夫物理學獎.頒獎詞評論說他的研究"改變了我們的世界觀"。當代著名物理學家惠勒說："當今哪個學者若不知道嫡的概念，就不能被認為是合格的科學家；在將來若誰不瞭解分形概念，那他也不能被稱為知識分子。"
1．（2020•煙臺模擬）如圖，是由相同大小的圓點按照一定規律擺放而成，按此規律，則第n個圖形中圓點的個數為（ ）
A．n+1 B．n2+n C．4n+1 D．2n﹣1
【解析】：觀察圖形的變化可知：
第1個圖形中圓點的個數為4+1＝5；第2個圖形中圓點的個數為4×2+1＝9；
第3個圖形中圓點的個數為4×3+1＝13；…
發現規律，則第n個圖形中圓點的個數為（4n+1）．故選：C．
2．（2019秋•崇川區校級期末）著名數學家裴波那契發現著名的裴波那契數列1，1，2，3，5，8，13…，這個數列從第3項開始，每一項都等於前兩項之和，如圖1，現以這組數中的各個數作為正方形的邊長構造正方形；如圖2，再分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個正方形拼成長方形並標記①，②，③，④，若按此規律繼續作長方形，則序號為⑧的長方形的周長是（ ）
A．466 B．288 C．233 D．178
【分析】觀察圖形的變化，後一個長方形的寬是前一個長方形的長，後一個長方形的長是前一個長方形的長與寬的和，再求周長即可．
序號為①的長方形的寬為1，長為2;序號為②的長方形的寬為2，長為3;
序號為③的長方形的寬為3，長為5;序號為④的長方形的寬為5，長為8;
序號為⑤的長方形的寬為8，長為13;序號為⑥的長方形的寬為13，長為21;
序號為⑦的長方形的寬為21，長為34;序號為⑧的長方形的寬為34，長為55;
∴序號為⑧的長方形的周長為2（55+34）＝178．故選：D．
3．（2019秋•鼓樓區期末）小紅在計算
拿出1張等邊三角形紙片按如圖所示方式進行操作．
①如圖1，把1個等邊三角形等分成4個完全相同的等邊三角形，完成第1次操作；
②如圖2，再把①中最上面的三角形等分成4個完全相同的等邊三角形，完成第2次操作；
③如圖3，再把②中最上面的三角形等分成4個完全相同的等邊三角形，…依次重複上述操作．可得
的值最接近的數是（ ）
4. 1915年波蘭數學家謝爾賓斯基製造出了兩件絕妙的"藝術品"——襯墊和地毯.如圖，把一個正三角形均分成四個小正三角形，挖去其中間一個，然後在剩下的三個小正三角形中分別再挖去各自四等分後中間的一個小正三角形，如此下去可得到謝爾賓斯基襯墊.這些小正三角形的周長越來越大，它們的面積和卻趨於0.
問：第二次挖去後，總共有13個小正三角形.那麼，這些繼續挖下去，第七次總共可得多少個小正三角形？
變式1．謝爾賓斯基地毯是由波蘭數學家謝爾賓斯基提出的一種分形圖形：將一個正方形分成9等份（如圖①），挖去中間的小正方形（如圖②）；再將餘下的8個小正方形分別9等份，挖去中間的小正方形（如圖③）；…這樣繼續進行下去，就得到空格子越來越多的謝爾賓斯基地毯．若圖①大正方形的邊長為1，則圖④中陰影部分的面積是 ．
【解析】：觀察圖形的變化可知：圖①中，塗黑部分正方形的面積為1，
變式2.如圖所示，把一個邊長為a的正方形分成9個全等的小正方形，把最中間的一個小正方形塗成白色（圖①），再對其他的8個小正方形做同樣的分割（即分成9個小正方形，最中間的一個塗成白色（圖②），繼續同樣的方法分割圖形（圖③）.……得到一些既複雜又漂亮的圖形，它的每一部分放大，都和整體一模一樣，它是波蘭數學家謝爾賓斯基構造的，也被稱為"謝爾賓斯基地毯"
求：（1）圖③中新的一個最小正方形的邊長；
（2）圖③中新的一個最小正方形的面積；
（3）圖③中所有塗黑部分的面積。
5. 設有一個邊長為1的正三角形，記作A1（圖①），將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段後所得到的圖形記作A2（圖②）；再將每條邊三等分，並重覆上述過程，所得到的圖形記作3A（圖③）；再將每條邊三等分，並重覆上述過程，所得到的圖形記作A4，
（1）那麼A4的周長是_________
（2）A4這個多邊形的面積是原三角形面積的_____倍
（全國初中數學競賽題）
解析：解題的關鍵是探索每"生長"一次，邊長、邊數、面積變化的規律，及每
"生長"一次新增三角形個數的規律。
變式1．從一個等邊三角形（如圖①）開始，把它的各邊分成相等的三段，再在各邊中間一段上向外畫出一個小等邊三角形，形成六角星圖形（如圖②）；然後在六角星各邊上，用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形，形成一個有18個尖角的圖形（如圖③）；如果在其各邊上，再用同樣的方法向外畫出更小的等邊三角形（如圖④）．如此繼續下去，圖形的輪廓就能形成分支越來越多的曲線，這就是瑞典數學家科赫將雪花理想化得到的科赫雪花曲線．
如果設原等邊三角形邊長為a，不妨把每一次的作圖變化過程叫做"生長"，例如，第1次生長後，得圖②，每個小等邊三角形的邊長為a/3，所形成的圖形的周長為4a．
請填寫下表：（用含a的代數式表示）
6.將稜長為1釐米的正方體按如圖方式放置，求第20個幾何體的表面積.
（世界數學團體錦標賽試題）
解析：由圖呈現的規律知，第20個幾何體有20層，從上往下第1層有1個正方體，第2層有3×3個正方體，第3層有5×5個正方體，……，第20層有39×39個正方體，所以第20個幾何體的表面積由以下三部分組成：
（1）俯視圖：邊長為39釐米的正方形，面積為39×39=1521（平方釐米）.
（2）底面積：邊長為39釐米的正方形，面積為1521平方釐米。
（3）側面積：四個形如
的金字塔三角形的面積和，即（1+3+5+…+39）×4=(1+39)/2 ×２０×４1600（平方釐米），故第20個幾何體的表面積為1521×2+1600=4642（平方釐米）。
德國數學家克萊因曾對數學美作過生動的描述："音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心絃，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。"
英國哲學家、數學家伯特蘭·羅素則把數學美上升到了一種前所未有的高度："數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高於人的意識——這些是至善至美的標準，能夠在詩裡得到，也能夠在數學裡得到。"
美國數學家、控制論的創始人維納則乾脆說：數學實質上是藝術的一種。數學美是科學美的核心，主要是指：統一性、對稱性、簡單性。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
