我們的第一個模塊，會為大家介紹數學的線索，也就是它從猜想到定理再到應用的整個過程。我會以畢達哥拉斯定理為例來展開。
勾股定理大家都不陌生，它講的是直角三角形兩條直角邊的平方之和等於斜邊的平方。
a²+b²=c²
但是，這個定理在國外都被稱為畢達哥拉斯定理。畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—約公元前500年）是古希臘著名的數學家和知識的集大成者。
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接下來有兩個疑點，你的中學老師可能在刻意迴避或者說沒有講清楚，而它們又實在太重要了。
第一個疑點：這個定理是否在畢達哥拉斯之前就被發現了？
我們過去的教科書裡講，據漢朝的數學書《周髀算經》的記載，早在公元前1000年的時候，周公和商高這兩個人就談到了“勾三股四弦五”。他們的年代比畢達哥拉斯早，因此教科書中講是中國人商高最早提出這個定理的，於是稱之為勾股定理或者商高定理。
我們先不說《周髀算經》裡所記載是否靠譜，就算靠譜，它也只是記載了一組勾股數（即直角三角形直角邊和斜邊都是整數的情況），並不能說明發現了其中的規律。因為比周公和商高早1500年，古埃及人在建造大金字塔時就已經按照勾股數在設計墓室的尺寸了。
如果再往前推，美索不達米亞人早在公元前18世紀左右就知道很多組的勾股數（包括勾三股四弦五），而且留下了實物證據。比如耶魯大學的博物館裡就保存了一塊記滿勾股數的泥板。
接下來就產生了第二個疑點，古埃及和美索不達米亞為什麼不去爭奪這個定理的發現權呢？
簡單地講，所有這些古代文明不過是舉出了一些特例而已，甚至沒有提出假說。我們在後面的課程中會看到，很多時候特例中反映出的規律和後來真正的定理可能是不同的。所以，這種特例就沒有意義。
如果像美索不達米亞人那樣舉了很多特例，而且沒有發現例外，是否可以認為他們最先發現這個定理呢？答案是否定的，因為光舉例子還是不夠的，還需要做出一個明確的規律性的描述，這種描述我們可以把它稱為命題。
一個命題在沒有證明之前，只能算是猜想，比如著名的哥德巴赫猜想。而總結出一個猜想和證明定理依然是兩回事，當然這是比舉幾個例子進了一大步了。
再接下來，猜想如何證實呢？在這一點上數學和自然科學完全不同。那麼我們就要說到數學和自然科學的三個本質差別，也是這一講最重要的三個知識點，它們能夠幫助我們理解數學特殊的方法和思維方式，或者說了解數學的推理世界與我們真實的測量世界的區別。
1.測量和邏輯推理的區別
我們知道幾何學源於古埃及，當地人出於農業生產的考慮，對天文和土地進行度量，發明了幾何學。但是，度量出來的幾何其實和真正的數學還有很大的差距。
比如說，古代文明的人們確實觀察到勾股數的現象，他們畫一個直角三角形，勾三尺長、股四尺長時，弦長恰好就是五尺長，於是就有了勾三股四弦五的說法。
但是這裡面存在一個大問題，我們說長度是三尺，其實並非數學上準確的長度，用尺子量出來的3，可能是3.01，也可能是2.99。這樣一來勾三股四弦五就是一個比較模糊的說法了。
為了讓你更好地理解這一點，我們不妨看這樣一個例子。
圖中左上方有一個8x8的方格，它的面積是64，這沒有疑問吧？我按照圖中所示的粗線將它剪成四部分，兩黃兩灰，再重新組合，就得到了一個13x5的長方形，它的面積是65。請問面積是64的正方形怎麼重新組合一下面積就多出1，變成65了呢？
當然我們知道64不等於65，這裡面一定有問題。那麼問題在哪兒呢？其實，問題就出在再拼接時，它們並不是嚴絲合縫的，只不過縫隙較小，大部分人看不出來罷了。
在數學上，觀察的經驗可以給我們啟發，但是它不能成為我們得到數學結論的依據，數學上的結論只能從定義和公理出發，使用邏輯嚴格證明得到，不能通過經驗總結出來。
講回到勾股定理，一個工匠注意到勾三股四弦五這個現象，和提出一個具有普遍意義的定理是兩回事。
我們通過觀察還可以發現，如果勾3.5，股4.5，那麼弦大約是5.7，這個“大約”的誤差只有萬分之一點六左右（弦長大約是5.700887），古代任何測量都發現不了。這時如果你說勾3.5股4.5弦5.7，從物理上來說基本正確，但是在數學上就錯了。這是第一個差別，就是測量會出錯，但推理不會。
那麼，如果我們拋開誤差的影響，是否可以認為早期文明的人們發現了勾股定理呢？也不能，只能說他們觀察到一些現象，而非發現了定理。這涉及到數學和自然科學的第二個主要區別，證實和證明的區別了。
2.用事實證實和用邏輯證明的區別
在自然科學中，一個假說通過實驗證實，就變成了定律。比如說與牛頓同時代英國的大科學家波義耳同法國科學家馬略特一同發現：一個封閉容器中氣體的壓強和體積成反比。這很好理解，因為體積壓得越小，內部的壓強肯定越大。這兩個人通過很多實驗，都證實了這件事，於是這個定律就由他們兩個人的名字命名了。
但是，如果有一個非常愛較真的人一定要抬槓，說你們證實了所有的情況（各種體積和壓強的組合）嗎，你們敢保證沒有例外麼？波義耳和馬略特肯定會說，我們不敢保證沒有例外，但是這個規律你平時使用肯定沒有問題。
果然，後來人們真的發現當壓強特別大時，這個定律就不管用了。但是沒有關係，在大多數條件下，這個定理依然成立，今天人們在做產品時，依然可以用。
事實上，今天幾乎所有的自然科學的定律和理論，不僅存在一個被推翻的可能性，而且有很多的例外。比如，證實引力波的實驗，也只能保證99.9999%的可能性結論是對的。
但是，在數學上，用實驗來驗證一個假說（在數學上常常被稱為猜想）是不被允許的，我們在後面介紹無窮大時，大家還會看到這甚至是做不到的。數學的結論只能從邏輯出發，通過歸納或者演繹得出來。它必須完全正確，沒有例外，因為但凡有一個例外（也被稱為反例），就要被完全否定掉。這裡面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。
今天人們利用計算機，在可以驗證的範圍內，都驗證了這個猜想是對的，但是因為沒有窮盡所有的可能，就不能說猜想被證明了。因此，我們依然不能在這個基礎上，構建其它的數學定理。
所以，數學世界和測量世界第二個區別就是，數學理論必須要證明，保證沒有例外。
3.科學結論相對性和數學結論絕對性的區別
為什麼數學要那麼嚴格，它的定理為什麼不能有任何例外，更不能特殊情況特殊處理呢？因為數學上的每一個定理都是一塊基石，後人需要在此基礎上往前走，試圖建立一塊新的基石，然後數學的大廈就一點點建成了。在這個過程中不能有絲毫的缺陷，一旦有，整個數學大廈就轟然倒塌了。
還是以勾股定理為例，它的確立，其實教會了人們在平面計算距離的方法，在此基礎之上，三角學才得以建立，笛卡爾的解析幾何才得以確立，再往上才能建立起微積分等數學工具。此外我們這個模塊後面會講到的無理數的出現、黃金分割，都和它有關。
人類今天發明的各種科技，像無線通信、航天等等，依賴於這些定理。如果出現了一個違反畢達哥拉斯定理的反例，不僅是這個定理失效了，而且整個數學就完蛋了，我們的科技也就時靈時不靈了。因此，數學上的每一個定理，必須也只能通過邏輯推演來證明，用多少實例來驗證都沒有用。
理解了數學定理確立的過程，以及它隨後產生的巨大影響，我們就清楚定理和定理證明在數學中的重要性了。正是因為這個原因，西方才將這個定理命名為畢達哥拉斯定理，以彰顯他的貢獻。是他明確提出這個定理，並且嚴格地證明了它，從此畢達哥拉斯定理才成為了數學上普遍的規律。
有了一個個的定理，數學就得以建立起來，而且這個建立在邏輯推理基礎上的大廈很堅固。在數學上，當一個新的定理被證明後，就會產生很多自然的推論，每一個推論可能都是一個重大的發現，甚至能帶來人類認識的升級。畢達哥拉斯定理的一個直接推論，就是無理數的存在。這個內容我們下一講再講。
要點總結：
數學和自然科學不同，它不相信測量，不是建立在實證基礎之上，而是建立在邏輯基礎之上的。數學也不接受大部分情況正確，但是包含例外的定理。這樣整個數學大廈的基礎才得以穩固。
數學定理確立的過程大致是這樣的，一開始可能只是大家注意到幾個特例，然後發現很多例證提出猜想，猜想經過證明就成為了定理，定理會有推論，在此基礎上，會有新的定理和應用。
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