瀋海疆
所謂一個集合 X 中的元素可以比較大小，就是在這個集合 X 中 建立一種 全序關係 ≤，它滿足：
自反性，即，對於任意 x ∈ X 都有 x ≤ x;
反對稱性，即，對於任意 x, y ∈ X，如果 x ≤ y 並且 y ≤ x，則 x = y；
傳遞性，即，對於任意 x, y, z ∈ X，如果 x ≤ y 並且 y ≤ z，則 x ≤ z；
任意可比性，即，對於任意 x, y ∈ X，總有 x ≤ y 或 y ≤ x 成立；
將全體實數記為 R，不難驗證 R 就具有 上面的全序關係。
將全體複數記為 C ，任意複數 a + ib 的實部 a 和虛部 b 組成 一個 實數序對 (a, b)，全體 實數序對 組成了 複數集合，即，
C = {(a, b) | a, b ∈ R}
我們，可以對 複數
C 定義如下字典序：對於任意 a + ib, c + id ∈ C，令 (a, b) ≤ (c, d) 當且僅當 a < c 或 (a = c 並且 b ≤ d)
注：將 a ≤ c 並且 a ≠ c 記為 a < c。
可以驗證 這個 字典序 是 全序關係。
這樣以來，不管 兩個複數的是否虛部相等，它們都可以用字典型比較大小。
但是，上面這樣的比較大小，對於複數來說是有問題的！為什麼呢？
因為， 實數 和 複數 不僅僅是 集合，它們 還是 定義了 加法 和 乘法運算的 代數系統，數學上稱為 域。這就要求 全序關係 和 運算 之間 具有混合性質。
實數 R 就具有這樣的 混合性質，（對於任意 x, y, z ∈ R ）：
加法保序性（平移性），即，如果 x < y 則 x + z < y + z；
-
乘法保序性，即，如果 x < y 並且 0 < z 則 xz < yz；
我們，可以證明 無論如何 定義 複數 的全序關係，都會在上面的 兩個保序性下產生矛盾：
假設，可以在複數 C 中定義某個全序關係，現在 考慮 0 和 i 之間的大小比較。
首先， 因為 0 ≠ i，所以只能 是 0 < i 或 i < 0。
如果是 0 < i，則 根據 乘法保序性 得到 0 ⋅ i < i ⋅ i ，再由 虛單位定義 i² = -1，得到 0 < -1 ，矛盾；
因此 只能是 i < 0，不等式兩邊，同時加上 -i，根據 加法保序性 有，
i + (-i) < 0 + (-i)
0 < -i
於是，根據 乘法保序性 得到：
0 ⋅ (-i) < (-i) ⋅ (-i)
0 < (-i)²
0 < i²
0 < -1
矛盾；
綜上，就證明了 0 和 i 之間，無法比較大小，這樣 就不滿足 全序關係 的 任意可比性，因此 假設 不成立，故，不可以在複數
C 中定義全序關係（以兼容 R 的保序性） 。結論：複數不能比較大小！
其實，從幾何角度也很好理解。在解析幾何中：
實數 R 對應 數軸，對於 每個 實數 x，x 就是 數軸上 該實數對應點的座標；
實數 C 對應 複平面，對於 每個 複數 a + ib， (a, b) 就是 複平面 中 該複數對應點的座標。
因為 所有 實數 都在 一根 數軸上，所以 對於 一根 數軸上 的 任意 兩點： 左，右，我們 可以很方便的 讓 左邊的 小於 右邊的，即，左 < 右：
而，複平面上的 點 不再一根 數軸上，因此 就沒有了實數那樣天然的優勢了！
另外，對於 圖中 兩個 (左，上) 和 (右，下) 來說，
如果 以 實軸 為準，應該 是： (左，上) < (右，下)，
如果 以 虛軸 為準，應該 是：(右，下) < (左，上)，
不一致！
因此，我們無法用複數的同一大小規則，同時 讓 實軸 和 虛軸 兩個根數軸上 同一個實數大小規則保持一致。
另一個看法是，雖然可以通過點距離原點的遠近來比較大小，但是：
實數軸上的任意兩個 點 離開 原點的 方向 只有兩個，因此 對於與 原點 同一距離 的 兩個相反方向 點，可以用 負 < 正 來大小區分，這沒有問題；
而 複平面，上 從 原點 出發 可以有 無數個 方向，於是 和 原點等距 的點 有 無數個，根本無法用有限的 代數手段進行大小區分。
補充 1：
利用保序性，有如下推論：
如果 x < y 並且 z < 0 則 yz < xz
證明：
有，
z < 0
z - z < 0 - z
0 < -z
根據 乘法保序性，得到，
-xz < -yz
進而，不等式兩邊 同時加上 xz + yz ，有，
xz - xz + yz < xz + yz - yz
0 + yz < xz + 0
yz < xz
得證。
補充 2：
複數 C 除了不能 如同 R 那樣 比較大小外，另一個 與 R 的區別是：根式運算的結果 不唯一。
在 複數 C 中，對於任意 z ∈ C，根式運算定義為：
ⁿ√z = {w ∈ C | wⁿ = z}
是一個多值集合。
在 實數 R 中，對於任意 x ∈ R，根式運算定義為：
ⁿ√x = v，v 為非負實數 並且 vⁿ = x 或 v 不存在
如果有，是一個單值實數。
思考思考的動物
你是一個愛思考的人、愛較真的人，這其實很好。大致看了一下那些回答，大多都是好為人師的半吊子——鸚鵡學舌地重複高中教材上的教條！根本解決不了你心中的疑惑。首先，複數其實也可以比“大小”——所謂比“大小”，就是能建立序關係——即給兩個複數排序！比如，對於複數，可以定義一種“字典序”——設有複數z1=a+bi，z2=c+di，規定：若a>c，則稱z1>z2;不然，若a=c，但若b>d,則稱z1>z2。反過來可以定義“z2——這樣定義的序關係，不是任意兩個複數都有這種關係，這在數學上叫“偏序關係”。打個比方，兩個同學A和B，A的數學、語文都比B好，那我們自然可以說A的學習比B好，這時我們就說A和B之間存在這種偏序關係。但若A的語文好，而B的數學好，這時我們就不好說誰比誰的學習好了，這時，我們說A和B之間不存在這種偏序關係。
小橋流水人家4534
你讓兩個向量比大小？
美遊艾德費爾特
作差法A—B=r實數大小不知道嗎？（虛部相等 參數和符號都一樣，作差就抵消了）
workmoney
複數的意義要搞明白，複數從某種意義上講是表示一個點在複平面的位置，它不像實數一樣，它是二維的，實數在直線上，是一維的，所以複數沒有大小之說。
數學尹老師
用排序把，比較大小這個太難定義了。
主觀的科學家
可以把複數看作矢量，大小怎麼比？
Apple23772176
虛數不能比大小
麒麟120295917
你確定真的懂虛數嗎？什麼是大小？如何比較？A_B>0？真是醉了
白露橫江008
你能比較複數的絕對值，就是實部的平方加上虛部的平方再開根號，看哪個絕對值大
