空虛劍法
連續與稠密早期是沒有分別的。其共性就是“任何給定的區間內，存在無窮個元素”。例如，有理分數。在兩個分數之間，存在無數個分數。早期認為“有理分數與0與相反數”可填滿數軸。因此，任何兩條線段長度之比都可用一個有理分數表示。
後來，證明了“正方形對角線與邊長之比，不能用有理分數表示。”也就是說2的平方根不是有理數。邏輯展開，數軸上除去有理數之外，還有許多空孔。稠密的有理數並不連續。數軸上的點才是連續的。在集合論中，證明了以下一些定理：
一，有理數與自然數之間，可構成一一對應。作為兩個無限集，類似有限集“一樣多”。稱為兩個集合勢相同。
二，無理數集的勢比有理數之勢更大。有理數等與無理數集合並，稱為實數集。
三，公理：實數集與直線上的點集是”同一個集”。稱為連續集。
一元函數中的連續函數。是在自變量連讀的前提下來定義的。
ε―δ語言所定義之函數連續。在有理數範圍內。照樣可成立。因此，自變數必須是連續數集。這一點應在定義中明確。只是，在有理數範圍內，不能把ε―δ定義，轉化為極限定義。存在極限時，極限可不是有理數。
西北大學數53畢業
（連續性在《數學分析》中是非常有影響力一個概念，它不僅本身發揮著重要作用（例如：作為函數的三大特性：連續性、可微性、可積性，之一）而且與許多其它概念都有關聯（例如：極限），所以，要搞清楚它著實需要花一些力氣！這裡，小石頭準備用 十個話題，將 連續概念的 全貌展現給大家，希望大家能喜歡！）
連續 就是 一個接一個持續不間斷 之意。日常生活中 的 繩子、電源線、項鍊 都是 具有連續性質的事物，這些事物都是由一個個子對象組成，這些子對象排成一條線，對象之間沒有間斷。
數字天然可以根據大小關係排成一條線，於是數字組成的集合——數集，就有了研究聯繫性的必要，這就引入我們今天討論的第一個話題：實數的連續性。
最初，人們認為：
整數集 Z 是不連續的，因為 在 0 和 1 之間，存在 1/2 將它們隔開；
有理數集 Q 是連續的，因為 Q 具有 稠密性： 在任意 兩個 不同的 有理數 之間，都存在 無數個有理數；
但是，後來隨著 √2 的發現，人們才知道 有理數 之間 還存在 無理數，因此 有理數集 Q 不連續，而有理數 + 無理數 組成的 實數集 R 才是真正 連續的。
同時，人們還認識到 稠密性 ≠ 連續性，我們需要重新尋找 實數的連續性的定義！早期，人們將 實數 和 直線上的 點 一一對應，而幾何上，直線被定義為是連續的，因此與 直線 一一對應的 實數集 也是連續的，後來，經過漫長的歲月，數學家發現，對於某個數集 K，可以進行如下分割操作 ：
K 的所有數字依從小到大，從左到右，在我們面前排成 一條線。我們用刀去砍這條線，一刀下去，將 一條線 分為左右 A，B 兩段 ，顯然， A 和 B 滿足條件：
左半 邊 A 中的 任意 數字 都小於 右半邊 B 中的任意 數字
稱 滿足上面 條件 的這種 分割操作，為 戴德金分割，記為 A|B。人們發現，因 K 是否連續，戴德金分割的結果有差異：
如果 K 不連續，則 這條線上存在縫隙，當 刀剛好 從某個縫隙點穿過 時，分割的結果是：A 沒有 沒有 最大值 並且 B 沒有 最小值；
如果 K 連續，則 這條線上 不存在縫隙點，於是 刀 一定砍在 某個點 x 上，又因為點不能被分割，於是刀要麼從 點 x 的左邊穿過，這時 B 的最小值是 x，要麼從 點 x的右邊穿過，這時 A 的最大值是 x；
於是，大家就將上面的結論2 作為 數集K的連續性定義。實數集 R 符合這個定義的要求 而 有理數集
Q 不滿足，我們稱 實數為 連續性系統，簡稱，連續統。不僅僅是直線，平面上的 曲線 也都是連續性的，而 曲線又與 實函數關聯，於是，連續的概念就成為實函數的一個重要性質。那麼，具體是 如何 在 實函數上定義連續性呢？這就是我們這裡要展開的第二個話題。
一個實函數 f(x) 定義為 實數集 R 的子集 E 到 實數集 R 的 映射，記為, f: E → R (E ⊆ R)。我們要搞清楚 整個 函數 f(x) 的 連續性，就要先搞清楚 函數 f(x) 在 定義域 中的 每一個 點 x₀ 處的連續情況。
首先，如果 x₀ 點 不存在，即，x₀ ∉ E，則 函數 f(x) 在 x₀ 點 看上去的確是不連續， 我們稱 這樣的 點 x₀ 為奇點。
但是，這種不連續 是定義域 E 的不連續引起的，它屬於 第一個話題討論的 數集E 的連續性，而非這裡要討論的 函數 f 的連續性。函數 既然是 映射，那麼 其連續性應該體現為：保持連續性，即，
將定義域 E 中的 連續部分 映射為 值域 R 中 連續的像集
而 對於 E 的不連續部分，由於 根本沒有機會體現 f 的連續性，同時也無法找到 不連續的 證據，所有 我們只能默認 這部分點 在 f 上 是連續的 。
接下來，我們先分析 E 中的連續部分中的點。
設 E 中 x₀ 附近定義域局部是連續的，如果 f 在 x₀ 點 是連續性，則根據 保持連續性 要求， f(x₀) 附近的影像 也應該是連續性。但是，事實上，函數值 f(x₀) 可以與其 右邊、 左邊 或 兩邊的 函數值 斷開，
這些情況，都違反了 保持連續性，因此 這時 函數 f(x) 在 x₀ 就是不連續的，我們稱 這樣的點 x₀ 為 f(x) 的一個斷點。而只有當 函數值 f(x₀) 與其 兩邊的函數值 都連貫，
才能 說 函數 f(x) 在 x₀ 連續，我們稱 這樣的點 x₀ 為 f(x) 的一個連續點。
我們仔細觀察，上面 x₀ 左邊連續、右邊斷開 的情況，
就會發現：
由於左邊連續，當 x 從 左邊無限逼近 x₀點 時， 函數值 f(x) 也會 無限逼近 f(x₀)；
而 因為 右邊斷開，當 x 從 右邊無限逼近 x₀點 時，函數值 f(x) 所無限逼近的 值 A 和 f(x₀) 之間 相差 斷開的 間距 b ，從而不相等；
我們 稱 x 從 左邊、右邊 或 兩邊 無限逼近 x₀點 時， 函數值 f(x) 所無限逼近的 值 A 為 f(x) 在 x₀ 點的 左極限、右極限 或 極限，分別記為：
也寫成：
這裡 x → x₀ 表示： x 無限逼近 x₀ 點，方向沒有限制；x₀⁻ 與 x₀⁺ 分別限制 只從 x₀ 的左邊 與 右邊 逼近。
則，根據上面的發現， 函數 f(x) 在 x₀ 點 連續，就意味著：f(x) 在 x₀ 點的極限 是 f(x₀ )，即，
這就是，函數在點 x₀ 處連續的第一種定義。
接著，再考慮 E 的不連續部分對於 上面定義的影響。我們用 x → x₀ ∈ E 來表示 在 E 內 受 E 的制約下 x 無限逼近 x₀，即，只有當 E 使得 x₀ 左（或 右）連續時，從 左（右）邊逼近 才被啟用：
於是，上面的定義也相應修改為：
這樣以來，E 的不連續性 被從 f(x) 的 連續性中 完全排除，f(x)的連續性 只要保證 E 中連續的部分保持連續 就好了。例如，以下 E 中的不連續點 對於 f(x) 都是連續的：
特別是 x₀ 這樣的 孤立點，使得 既不能從 左邊逼近 也 不能從 右邊，於是 逼近 失去意義，它總是連續的！
最後，在 函數 f(x) 關於點x₀ 連續性定義基礎上，我們只要再定義：
如果一個函數 f(x) 在每一個點 x₀ 處都是連續的，則稱該函數 f(x) 是連續函數。
前面的討論說明 極限 和 連續性 是緊密相關的，因此 我們有必要開啟第三個話題 ，以通過進一步分析 極限，來 揭示 連續性 的根深層 的內容。
上面極限定義中用 箭頭 表示的 “無限逼近” ，僅僅是一種直覺概念，並不是 明確的 數學定義。 這種早期的微積分漏洞，後來被數學家用 ε-δ 語言 補足。
對於 任意 極限 x → x₀, f(x) → A，我們 令，
δ = |x - x₀|
則 δ 表示 當前 x 逼近 x₀ 的逼近距離，由於 無限逼近 要求 x ≠ x₀，所以 逼近距離 δ = |x - x₀| > 0。
同理，可以 令，
δ' = |f(x) - A| > 0
於是，極限 x → x₀, f(x) → A，可以描述為：
當 x 到 x₀ 的 逼近距離 δ 無限小時， f(x) 到 A 的逼近距離 δ' 也跟著無限小。
這裡 δ' 的無限小，就意味著：
給定義 任意 f(x) 到 A 的逼近距離 ε 都 存在 （δ 導致下 的）逼近距離 δ' < ε。
將這句話，翻譯成數學語言，就是：
對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 |x - x₀| = ε 的 點 x 有 |f(x) - A| < δ
這就是 最初 極限的 ε-δ 語言定義，但 這個定義存在瑕疵，考慮下面的情況，
函數 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x₀ = 0 時的值會不停在 -1 到 1 之間震盪，所以 x₀ = 0 應該沒有 極限值才對。但是根據 上面的 定義， A = 0 卻是 x₀ = 0 處的極限，因為：
對於任意 的 ε > 0 ，總存在 δ = 1/ π > 0，使得 滿足 |x - 0| = δ 的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
為了避免這種的情況發生，我們要求：
隨著 δ 的減小 δ' 是遞減的，即，對於 任意 逼近距離 小於 δ 的逼近點 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距離 小於 δ'
翻譯成數學語言，就是：
對於 任意 滿足 0 < |x - x₀| < δ 點 x 都有 |f(x) - A| < δ'
用這個要求，修正前面的定義，最終 ε-δ 語言下 極限的定義：
如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - A| < ε，則 稱 A 是 f(x) 在 x₀ 點的極限。
對於，左極限 或 右極限，我們只需要在上面定義中，加入 x < x₀ 或 x > x₀ 的條件就可以了。
與極限類似，我們也可以用 ε-δ 語言 來描述 前面的 函數的一點連續性：
給定 f(x) 上的一點 x₀，如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε，則 f(x) 在 x₀ 點處連續。
這裡允許 x = x₀ （區別於 極限的定義）有兩方面原因：
已經規定了 x₀ 是 f(x) 上的點，即，x₀ ∈ E 存在；
為了讓 孤立點 是 連續點。
到此為止，我們所討論的 函數連續性 僅僅是對 一元函數而言的，那麼多元函數的 連續性 又是什麼呢？在接下來的第四個話題中，我們來討論這個問題。
一個 m 元函數 記為 f: E → R (E ⊆ Rᵐ)，其中，
稱為 m 維歐氏（向量）空間，R¹ = R 就是 實數空間。
注意：這裡 變量 的上標 和 變量 的 下標 一樣，表示 序號。
也就是說，多元函數 f(x) = f(x¹, x², ..., xᵐ) 就是以 向量 x = (x¹, x², ..., xᵐ) 為 變量的 函數。
設 x₀ = (x¹₀, x²₀, ..., xᵐ₀) ∈ E，並且 x₀ 周圍的 定義域 連續性。
我們，定義 x → x₀ 為：
x¹ → x¹₀, x² → x²₀, ..., xᵐ → xᵐ₀
其中 個變量 的 無限逼近 是 獨立的，這保證了 向量 x 可以從任何方向 逼近 向量 x₀ 。
這樣以來，前面 一點連續的第一個定義中極限條件，對於 多元函數，就解釋為：
接著，我們在 Rᵐ 中定義 向量 x 與 x₀ 之間的 距離為：
| x - x₀| = √[(x¹ - x¹₀)² + (x² - x²₀)² + ... + (xᵐ - xᵐ₀)²]
注意：這裡 () 的上標 表示指數。
這樣以來，前面一元函數一點連續的 ε-δ 語言 描述 對於多元函數依然有效。
多元函數 的連續性，依然是 對 E 內部而言的，忽略 E 本身的 不連續部分。
到這裡，我們的升級並沒有結束。既然 向量可以作為 函數的 變量，那麼 就可以 作為 函數的 值，這樣的函數 稱為 向量函數。
多元向量函數 f: E → Rⁿ (E ⊆ Rᵐ)，可以認為是 n 個 m元函數 的向量，即，
f(x) = (f¹(x), f²(x), ..., fⁿ(x))
於是，前面 一點連續的第一個定義中極限條件，對於 多元函數，就解釋為：
而，上面已經定義了 距離，故 一點連續的 ε-δ 語言 描述，對於 多元向量函數 也是無縫 一致。
下面，以最簡單的多元向量函數——複函數 為例，來看看 上面抽象討論的 具體面貌。
一個複函數，記為 f(z) : C → C ，其中 複平面 C 二維平面 R² 的擴展，具有 R² 的完全性質。複函數 可以寫為：
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
它將 一個複平面 上的 任意 點 z₀ = x₀ + iy₀ 映射為 另一個複平面 上的點 f(z₀) = u(x₀, y₀) + iv(x₀, y₀)，同時，將整個前一個複平面 映射為 後一個複平面的一部分。
點 z₀ 附近 的連續或間斷情況如下：
根據，前面討論，無限逼近 z → z₀ 解釋為 x → x₀, y → y₀。
極限連續條件：
在這裡的意思是：z 從任意方向 無限接近 z₀ 時，f(z) 都會無限接近 f(z₀)， 解釋為：
用 ε-δ 語言 描述為：
對於任意 實數 ε > 0，都存在 實數 δ > 0，使得 對於一切 |z - z₀| < δ 的 複平面上的 點 z 都有 |f(z) - f(z₀)| < ε。
其中，複數間距離定義為：
|z - z₀| = √[(x - x₀)² + (y - y₀)²]
前一個話題中，提到 多元函數 定義域 E 的連續性，我們 並沒有深究，其實這裡是有問題的，在接下來的 第五個話題中，我們來討論這個。
首先，我們思考：一條線 上缺失點，則 這條線 一定斷開，不再連續，但，一個 平面 上 缺失點，則 只能 說明 這個平面 有 破洞，不再完整，不能說明 平面 不連續，更高維度的空間也是如平面一樣。因此，對於 任意維度空間 V，來說，我們用 完整的概念 來代替 連續，稱為 空間 V 的完備性。可以認為，完備性 是 連續概念的 升級， 一維空間的 完備性 就是 連續性。
其實，多元函數，也已經不僅僅侷限是一條曲線了，它們可能是曲面 或 超曲面，其所謂 連續性也只是表示 曲面 上沒有破洞 ，即， 完整之意，但 為了 兼容性，我們依然 稱之為 函數連續性。
其次，我們 第一個話題 中討論的 數集 K 的 連續性定義，默認要求 K 中元素 是可以排除一條直線，而高維度的空間是 平面 或 超平面，根本就不是 直線，因此 這個定義無法 被 完備性 使用，我們需要 重新尋找，一種新的方法，來判定 空間中 是否有 點的缺失。
要 判定 空間 V 中 某個點 A 是否缺失，我們首先要 指向 這個點 處，前面 極限的無限逼近 是一個好的 思路，
如果 我們 可以找到： 一個 函數 f: E → V（E ⊆ R），當 x 無限逼近 x₀ 時，f(x) 無限逼近 某處，則
如果 V 在 該處 沒有缺失，對應 點 A，則 f(x) 在 x₀ 點的極限 存在，就是 A；
如果 V 在 該處缺失，則 f(x) 在 x₀ 點沒有極限；
如果，判別 函數 f(x) 是 無限逼近 某處 呢？原來的 ε-δ 語言下的 判別標準：
對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的點 x 都有 |f(x) - A|
< ε顯然不行，因為 我們 無法 確定 A 點 是否存在，不過我們可以對這個判別標準，進行修改：
對於 任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 0 < |x - x₀| < δ 的任意兩點 x = x₁, x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε
這個新判別標準，避免了 A 的出現，但又 可以證明 與原判別標準 等價，堪稱絕妙。
至此，我們就有了 V 完備性的一個粗糙條件，
任意一個 在 x₀ 滿足 新判別標準 函數 f(x): E → V，都在 x₀ 處 有極限
這個條件有些複雜，可以做進一步簡化，我們 固定 x₀ = ∞，讓 E 為 自然數集 N 並令，
a₀ = f(0), a₁ = f(1), ...., a_n = f(n), ...
這樣 我們就將 函數 f(x) 轉化為 序列 a₀, a₁, ....，函數 f(x) 在 x₀ 處是否極限，轉化為 序列 a₀, a₁, .... 是否收斂。對於序列 新判別標準也更簡單：
對於 任意 ε > 0，都存在 自然數 N ，使得 任意 自然數 m, n > N 都有 |a_m - a_n| < ε
稱，滿足這個條件的序列為基本列。於是 空間 V 完備性的 最終定義為：
如果 V 中任意基本列 都是 收斂列，則稱 V 是完備的。
這個定義，僅僅要求 V 中定義有距離 |a_m - a_n|，我們前面已經定義了 歐氏空間 Rᵐ 中的 距離，因此 這個定義可以用於 判斷 歐氏空間 的 子集 E 的 完備性。
空間 V 中的距離，是 V 上的 二元函數 d(x, y): V × V → R，它滿足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
對稱性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我們稱 定義有 距離函數 的空間 V 為 距離空間，記為 (V, d)。可以驗證前面定義 的 距離 滿足上面的條件。
空間完備性定義，對於任意一個距離空間都適用。
注意：一個空間可以定義多種距離函數，例如 R ᵐ 中也可以這樣定義距離：
d(x, x₀) = |x¹ - x¹₀| + |x² - x²₀| + ... + |xᵐ - xᵐ₀|
上一個話題 引入了 距離空間 的概念，如果我們回顧，前面 多元向量函數的 ε-δ 語言所描述 的 連續性 定義，就會發現，這個定義也僅僅依賴於 距離。這說明，對於 任意距離空間 (V, dᴠ) 到 (W, dᴡ) 的映射 f: V → W，我們都可以定義其一點連續性為：
如果 對於任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 滿足 dᴠ(x, x₀) < δ 的點 x 都有 dᴡ(f(x) - f(x₀)) < ε，則 f(x) 在 x₀ 點處連續。
這樣 我們就將 函數的連續性 推廣為 距離空間間映射的連續性。到這裡，大家不禁會問：有沒有比 距離空間 更 一般的空間 呢？如果有，這個空間上映射的連續性 又是如何定義的呢？ 接下來的第六個話題，我們來討論這個問題。
讓我們回到最初，討論 實函數 的地方！
對於 實函數 f(x) 定義域 E 中 的 任意集合 U， 定義 U 在 f 下的像 為：
f(U) = {y : ∃ x ∈ U，f(x) = y}
然後，再仔細觀察比較，f(x) 在 x₀ 點，兩邊斷開 的情況，
以及 兩邊連貫 的情況，
我們就會發現：
如果 x₀ 是 間斷點，則 存在 真包括 f(x₀) 的區域 V，對於 任意 真包括 x₀ 的 區域 U 都 無法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 內；
如果 x₀ 是 連續點，則 對於任意 真包括 f(x₀) 的區域 V，都 存在 真包括 x₀ 的 區域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 內，
其中，區域 U 真包括 x₀ ，的意思是： U 包括 x₀ 但不僅僅 包括 x₀。
這裡必須是真包括，因為，如果 允許 U 只包括 x₀，即， U = {x₀} ，則 f(U) = {f(x₀)} 顯然包含於 V，於是，上面的 發現1 就不成立了。
考慮 包含 x₀ 的開區間 (a, b)，因為 a < x₀，根據 實數的稠密性，一定存在 x₁ 使得 a < x₁ < x₀，故 (a, b) 一定不僅僅包括 x₀，於是，要讓 U 真包括 x₀，我們只需要讓 U 包括 包含 x₀ 的開區間 (a, b) 就可以了。我們稱 包括 x₀ 的某個開區間 的區域 為 x₀ 的鄰域。
對上面的發現2進行整理，我們就可以得到 實函數一點連續的第二個定義：
如果 對於任意 f(x₀) 的鄰域 V，都 存在 x₀ 的 鄰域 U，使得 f(U) ⊂ V，則 稱 函數 f(x) 在 x₀ 點連續。
若，令 V = {y : |y - f(x₀)| < ε}，U = { x : |x - x₀| < δ }，則 上面的定義 其實就是 第一個定義的 ε-δ 語言 描述了。
對於多元向量函數，因為 平面，超平面 沒有 區間一說，所有，我們用 開集 代替 開區間，重新定義鄰域如下：
包括 x₀ 的某個開集 的區域 稱為 x₀ 的鄰域。
至此，這第二個定義，就可以無縫遷移到 元向量函數 上了。同樣以 前面的複函數 f(z) 為例，觀察比較 z₀ 附近 連續 和 間斷的 情況，
這與前面的發現完全一致。
這個全新的一點連續定義僅僅依賴鄰域的概念，而鄰域又是由開集來定義，所以 任意集合 只要 在其中 指定 開集， 我們就可以得到 其上 映射連續性了。
指定了開集的 集合 X，被稱為 拓撲空間，如果用 τ 表示 X 中 全體開集組成的 子集族，則 拓撲空間 記為 (X, τ)。開集 是 開區間 的拓廣 概念，它需要滿足如下條件：
全集 X 與 空集 ∅ 都是開集；
任意 多個 開集的 並 依然是開集；
任意 兩個 開集 的 交 依然是開集；
我們，可以 證明 拓撲空間 是比 距離空間 更廣泛的 空間。
拓撲空間之間的 映射，稱為 拓撲映射，其 一點連續性，由第二個定義提供。
至此，關於 映射的一點連續性，基本上算是討論清楚了，接下來的第七個話題，讓我們來討論一下映射整體連續性問題。
類似前面的 連續函數 概念，我們定義 映射的整體連續性，如下：
如果 映射 f 在其 定義域 中 每一點 都連續，我們稱 f 是連續映射。
這個定義依賴，一點連續性！其實，對於 拓撲空間 (X, τᵪ) 到 (Y, τᵧ) 的 拓撲映射 f: X → Y，我們也可以 用開集 來直接定義 其整體連續性。
對於 映射 f 的 值域 任意 區域 V ⊆ Y，定義 V 在 X 中的 原像 為：
f⁻¹(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最開始，觀察比較，連續實函數 與 非連續實函數，
我們發現：
對於連續函數：任何開區間（開集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 開區間（開集）；
對於非連續函數：存在開區間（開集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 開區間（開集）。
對上面的 發現1，進行整理，我們就到如下 關於 拓撲映射整體連續性的 定義：
如果 拓撲映射 f，使得 Y 中的任意 開集 A 的原像 f⁻¹(A) 依然是 X 的開集，
即，
∀ A ∈ τᵧ ⇒ f⁻¹(A) ∈ τᵪ
則稱 f 為 連續映射。
除此之外，我們將 閉區間 推廣為 閉集 ，定義如下：
開集關於全集X的補集，
然後，再根據進一步觀察比較，閉集於上面的情況，
不難發現：
對於連續函數：任何閉區間（閉集） A 的 原像 f⁻¹(A) 依然是 閉區間（閉集）；
對於非連續函數：存在閉區間（閉集） A 的 原像 f⁻¹(A) 不是 閉區間（閉集），
這說明，我們將上面 拓撲映射整體連續的定義 中的 開集 替換為 閉集 後 依然 有效。
上面的整體連續性是基於一個一個點的，可以稱為 逐點連續，下面第八個話題，我們討論另外一種 整體連續性——一致連續。
考慮實函數 f: E → R (E ⊆ R)，如果 對於任意 實數 ε > 0，都存在 實數 δ > 0，使得 對於一切 |x₁ - x₂| < δ 的 x₁ 和 x₂ 都有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε，我們就稱 f 是一致連續的。
我們只要將 x₂ 替換為 x₀ 並固定，則 上面的定義 就是 x₀ 點連續的定義，然後 再放開 x₀，則 上面的定義 保證了 每個 x₀ 處的連續性，進而，也就保證了 逐點連續，因此 一致連續的 一定是 逐點連續的。
但是反過來，逐點連續 不一定是一致連續了。考慮 前面那個 函數 f(x) = sin(1/x)，我們令
E = (0, π]，x₁ = 1 /(kπ) , x₂ = 1/(kπ + π/2)，k 是自然數，
則 有，
|x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x₁) - f(x₂)| = |sin(kπ) - sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
這樣以來，對於 存在 實數 1 > ε > 0，對於 任意 δ > 0，由於 E 中的點 x₁ 和 x₂ 可以無限小， 於是 總是 存在 k 使得 |x₁ - x₂| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x₁) - f(x₂)| = 1 > ε。這說明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上 不是一致連續的。
那麼，什麼情況下，逐點連續 一定是 一致連續 呢？
由於 f 逐點連續，則意味著 給定 任意 ε > 0， 對於 每個 x₀ ∈ E，都存在 δ_x₀ > 0 使得 滿足 |x - x₀| < δ_x₀ 的點 x 都有 |f(x) - f(x₀)| < ε/2。
令，V_x₀ = { x ∈ E : |x - x₀| < δ_x₀/2}，因為 每個 x₀ ∈ E 都屬於一個 V_x₀ 所以，
如果，能 從 E 中找到 有限 n 個 x₀： x₀¹，x₀² , ..., x₀ⁿ 保證：
則，令
δ = min {δ_x₀¹, δ_x₀², ..., δ_x₀ⁿ } / 2
由於， 每個 δ_x₀ᵏ > 0， 而 n 是有限的，所以 δ > 0。
注意：這裡必須保證 n 有限因為，當 n 無限時，即便是 每個 δ_x₀ᵏ > 0，它們的最小值依然可以 為 0，例如：
min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } = 0
對於 任意滿足 |x₁ - x₂|
< δ 的 x₁ 和 x₂，中 必然 有 x₁ 屬於 某個 δ_x₀ᵏ，滿足，|x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2
根據 距離的三角不等式：
|a - b| ≤ |a - c| + | b - c|
有，
|x₂ - x₀ᵏ| ≤ |x₁ - x₂| + |x₁ - x₀ᵏ| < δ + δ_x₀ᵏ/2 ≤ δ_x₀ᵏ
由 |x₁ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ/2 < δ_x₀ᵏ 與 |x₂ - x₀ᵏ| < δ_x₀ᵏ 分別可得到，
|f(x₁) - f(x₀ᵏ)| < ε/2 與 |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε/2
再次使用 三角不等式，就得到：
|f(x₁) - f(x₂)| ≤ |f(x₁) - f(x₀ᵏ)| + |f(x₂) - f(x₀ᵏ)| < ε
這樣，就推導出了 一致連續。
在推導過程中，我們要求：
可以從 E 的 任何 一個開區間（開集）的覆蓋（簡稱 開覆蓋） V = {V_x₀ : x₀ ∈ E}， E ⊆ ∪V 中找到 有限個元素的子集 W = {V_x₀¹, V_x₀², ..., V_x₀ⁿ} ⊆
V 依然是 E 的覆蓋 E ⊆ ∪W。我們稱 滿足上面要求的 集合 E 為緊緻的。
數學家證明了：任意 閉區間 都是 緊緻的！所以說，閉區間上的 連續函數 一定是 一致連續的。
如果 從新令 E = [π, 2π]，則 E 是一個閉區間，於是之上的 連續函數 f(x) = sin(1/x) 這會就變成 一致連續的了。前面，由於 E 中的點 x₁ 和 x₂ 已經不可以無限小了，於是前面 的反例 也就不成立了。
不知不覺，已經到第九個話題，這裡我們討論與連續概念相關的間斷和連通問題。
考慮 實函數上 f 上任意一點 x₀ ，x₀ 與 右（左）邊斷開，有兩種情況，
x₀ 的右（左）極限存在，但不等於 f(x₀)，這種斷開 稱為 第一類間斷；
x₀ 的右（左）極限根本不存在，這種斷開 稱為 第二類間斷；
設 x₀ 是間斷點，如果 x₀ 只包含第一類間斷的 間斷點，稱 x₀ 為第一類間斷點，否則 稱 x₀ 為第二類間斷點。
如果 第一類間斷點 的 左極限 = 有極限，則稱 其為 可去間斷點。
單調函數如果有間斷點 則其必然是第一類間斷點。
前面我們用 完備性 替換連續性來 描述 空間是否有漏洞問題，如果空間的漏洞如刀痕，則這些刀痕 是有可能 將 整個空間 分割的，這就牽扯到了 空間的 連通性問題。
對於 一個拓撲空間 (X, τ) 可以有兩個不同的連通：
如果 X 不能分割為 兩個 不相交的開集的並集，即，
∄ A, B ∈τ ⇒ A ∩ B = ∅ ∧ A∪ B = X
則，稱 X 是連通的；
如果 X 中任意兩點 x, y 都存在 從 x 到 y 的 道路，即，
∀ x, y ∈ X ⇒ ∃ r: [0, 1] → X ⇒ r(0) = x ∧ r(1) = y
則，稱 X 是道路連通的；
拓撲空間之間的 連續映射 f: X → Y，可以保持 連通性，即，如果 X 是 連通的，則 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 連通的。連續映射 也可以保持 道路連通性 以及前面的 緊緻性。這些可以被 連續映射 保持的性質，稱為 拓撲性質。
最後，在第十個話題，我們對以上討論 進行補充與總結。
首先，小石頭將以上討論中所提到的主要概念繪製成關係圖如下，方便大家理清。
其次，前面提到的 有理數（實數）的 稠密性，與 有理數 在 實數 中 稠密 是兩個概念。
我們說 拓撲空間 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 對於 X 中的每個點 x 都有 A 中的序列 a₁, a₂, ...， 收斂於 x（一般定義為： A 的閉包 Ā = X）。
有理數 在 實數 中 是稠密，因為 對於 每個實數 x，
要麼表示為 有限小數，例如：x = 1/2 = 0.5，則， 收斂於 x = 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；
要麼表示為 無限循環小數，例如： x = 1/3 = 0.3⋯，則，收斂於 x = 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；
要麼表示為 無限不循環小數，例如： x = π = 3.14159⋯，則，收斂於 x = π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；
其三，連續性與可導性 之間，靠極限關聯。由於，f(x) 在 x₀ 點的導數定義為：
如果 f(x) 在 x₀ 處不連續，則 當 x 趨近 x₀ 時，|x - x₀| 趨近 0 ，|f(x) - f(x₀)| 不趨近 0，這導致 f’(x₀) = ±∞ ，即， f(x) 在 x₀ 處不可導。
以上結論的逆反命題，就是：
f(x) 在 x₀ 處可導 則 f(x) 必然在 x₀ 處連續。
反之則不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函數，就是處處連續處處不可導的極端例子。
其四，函數連續性 可以在 函數的代數運算 上保持，即，連續函數的 加減乘除 依然是 連續函數。微分，積分 也可以保持 函數連續性。逐點收斂的函數序列，也可以保持 函數連續性（而函數上 的可導性 與 可積性，則 要求 是一致收斂）。
函數連續性還有一些性質（包括 在 中值定理 中的 作用），這裡篇幅有限無法再展開討論了，以後有機會再說。
最後，以上討論以理解概念為主，小石頭幾乎忽略了能夠被省略的證明，如果大家對有些命題和定義有疑問，可以參考 《數學分析》。
同時為了，讓概念更容易理解，以上討論也 犧牲了 嚴謹性，有寫論述可能不是那麼數學。
還有，小石頭討論所選的 切入角度 和 推進方式，都是 針對 學《高等數學》的條友而設計的，如果你是學《數學分析》可能沒有閱讀的必要，如果你沒有學過 《高等數學》可能會引起不適合，請謹慎閱讀。
(小石頭畢竟數學水平有限，出錯在所難免，歡迎大家批評指正！)
思考思考的動物
天地之間的萬物都在時間的長河中流淌著，變化著。從過去變化到現在，又從現在變化到將來。世界上的一切量，都跟隨時間的變化而變化，運動永恆。
時間是最原始的自行變化的量，其他量則是因變量。如果在某一變化過程中有兩個變量x，y，對於變量x在研究範圍內的每一確定的值，變量y都有唯一確定的值和它對應，那麼變量x就稱為自變量，而變量y則稱為因變量，或變量x的函數。
學過高數後，對於不少關於函數和極限的新概念，難免會產生不少困惑，其實這都是正常的，要習慣並且逐漸接受和理解需要一個過程。今天筆者就來談談最容易令大家所困擾的連續的概念及其相關知識。
連續
連續(Continuity)的概念最早出現於數學分析，後被推廣到點集拓撲中。
假設f:X->Y是一個拓撲空間之間的映射，如果f滿足下麵條件，就稱f是連續的:對任何Y上的開集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的開集。
其實，函教在某點連續就是三個條件：
1.函教在該點有定義；
2.函敬在該點極限值存在；
3.函教在該點極限等於函教值。
若只考慮實變函數，那麼要是對於一定區間上的任意一點，函數本身有定義，且其左極限與右極限均存在且相等，則稱函數在這一區間上是連續的。
分為左連續和右連續。在區間每一點都連續的函數，叫做函數在該區間的連續函數。
函數、極限和連續之間的內在聯繫
連續必有極限,有極限未必連續”.
一個函數f(x)在點x0處連續必須有三個條件：
1,函數f(x)在點x0處有定義；
2,函數f(x)在點x0處有極限；
3,函數f(x)在點x0處的極限等於該點的函數值f(x0).
這三個條件缺一不可,是判斷函數在該點連續的充要條件.
因此說函數有極限是函數連續的必要不充分條件.至於函數在區間上的連續,開區間兩個端點處是否連續並不要求；閉區間的在左端點要求右連續,右端點要求左連續。
連續與一致連續![]()
這兩個概念來自於實際問題、現實世界,是數學分析中非常基礎也是非常重要的概念。我們經常觀察到的一些自然現象有一些共同特性：例如氣溫的變化，生產的連續進行，生物的連續生長等等，反映出來的是事物連續不斷地進行的過程。如果用函數來刻畫，即研究函數的連續性。數學分析研究種種不同性質的函數，其中有一類重要的函數就是連續函數。
二者的定義：
一致連續性是一個“整體”性質，而連續性是一個“局部”性質。一致連續是比連續更強的一種連續。強在何處呢？強在有一個共同的8，那麼除了從解析方面來理解外，從幾何方面又該如何理解呢？
說白了，就是一直連續性保證的是函數圖像更加平滑，而在整個區間上避免了突然出現陡、筆直等尖銳的變化。注意此刻一致連續性的重要性就凸顯了，是整個區間的性質，整個區間避免比較突兀的走勢變化。
最常用的反例就是1/x這個函數了，1/x在其定義區間上不一致連續。從幾何意義上怎麼看呢？如下圖
當然，在閉區間上連續與一致連續是一回事。
話外話，權當結語
這次疫情相信會讓很多人明白一個道理，如何函數的連續性一樣，那就是人是需要勞動的，而且需要持續勞動。勞動使我們的生活充滿意義。馬克思說過，勞動使人類與動物區別。我們可以像鹹魚一樣躺屍在家中，但是如果我們的精神狀態疲軟，心理健康出現問題，那最後會影響我們的免疫力，從而影響到身體狀態。
疫情期間讓我們很多人沒有心思安靜學習。但是我覺得在一天當中的時間，即使只花兩三個小時集中注意力做一些事情，我認為已經足矣。劇可看，覺可以睡，只要每天投入兩三小時，讀書寫字思考，這個投入節奏足以讓我們的心態穩，認知提升。這樣等到疫情結束的時候，我們至少也會有一些收穫。當我們進入了專注的狀態，我們會自願地多投入一些積極的時間。
對於處在疫區的同學，我們即將開學，第一仍要要務就是要做好防護，調整好心態。堅韌耐煩，等待雲開見日時。我們與你同在。
