互不相容
在概率論與數理統計當中,有一種概念,叫做互不相容,從字面意思上來理解,便是兩者不能容忍各自的存在,假定事件A和事件B互不相容,那麼事件A存在,事件B必定不存在;反之,事件B存在,事件A必定不存在。
相互獨立
而相互獨立,便是兩個事件的發生互相之間沒有關係,都是各自獨立存在的事件。
假設事件A和事件B相互獨立,那麼事件A可以和事件B同時存在,也可以不同時存在,也可以事件A存在事件B不存在,同樣也可以事件A不存在而事件B存在。
一般來說,當兩個事件滿足P(A)(B)=P(AB)的時候,我們就說這兩個事件相互獨立。
實踐出真知:給出兩道例題
第一題:
這道題給出三個事件,其中事件A與事件C互不相容,既可以說明事件A存在,事件C就不存在。
然後其中的¯C表示1-C,也就是C的對立事件,那麼,¯C必然包括事件A,也包括事件A與事件B的交集。
又因為P(AB|¯C)是根據條件概率的定義來進行計算,可以得到:
P(AB|¯C)=P(AB¯C)/P(¯C),因為¯C包括事件A與事件B的交集,所以可以寫為P(AB)/P(¯C)。
得到(1/2)/(1-1/3)=(1/2)/(2/3)=3/4。
結果如下圖所示:
第二題:
這道題說事件A與事件B相互獨立,第一可以想到P(AB)=P(A)P(B)。
然後也能夠得到A與¯B相互獨立、¯A與B相互獨立,接下來我來證明為什麼。
首先要證明一個公式:
P(A¯B)=P(A-B)A-B我們可以理解為事件A與事件B之間的差,那麼就是事件A發生,但是事件B不可能發生。
¯B之前介紹過了,它是事件B的對立事件,為1-B,那麼事件A與¯B之間的乘積,也可以理解為事件A發生,事件B的對立事件發生,也就是事件B不發生,所以前後兩個式子可以等同。
要證明A與¯B相互獨立,即要得到P(A¯B)=P(A)P(¯B)。
因為P(A¯B)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(¯B)。
所以,證明得到A與¯B相互獨立,同理,B與¯A相互獨立。
那麼,做這道題就很簡單了:
P(A-B)=P(A¯B)=P(A)P(¯B)=P(A)P(1-B)=0.3。
P(A)=0.3/P(1-B)=0.3/0.5=0.6。
P(B-A)=P(B¯A)=P(B)P(¯A)=0.5X0.4=0.2,所以,答案選擇B選項。
結果如下圖所示:
總結:
總的來說,這些題目都不難,關鍵就是熟練掌握互不相容和相互獨立兩種概念,熟能生巧,方能會做題,才會這道心中有數,心中有底,加油吧。