引言
科技史與哲學史界有一個非常流行的說法，叫做
“言必稱希臘”。當然這個希臘不是指現在的希臘，而是西方文明的發祥地——古希臘，就是那個誕生了蘇格拉底，柏拉圖，亞里士多德的地方。這句話有兩層含義。第一，西方的哲學、科學乃至數學都起源於古希臘。在此之前，不是說沒有科學思想，而是沒有人把科學從日常的生產勞作中抽象出來，完整而系統地發展成為一種人類思維的研究對象。英國哲學家羅素(Bertrand Russell, 1972~1970)在其著名的《西方哲學史》(The history of western philosophy)中寫到：
“在全部的歷史裡，最使人感到驚異或難於解說的莫過於希臘文明的突然興起了。構成文明的大部分東西已經在埃及和美索不達米亞存在了好幾千年，又從那裡傳播到了四鄰的國家。但是其中卻始終缺少著某些因素，直等到希臘人才把它們提供出來。希臘人在文學藝術上的成就是大家熟知的，但是他們在純粹知識的領域上所做出的貢獻還要更加不平凡。他們首創了數學、科學和哲學；他們最先寫出了有別於純粹編年表的歷史書；他們自由 地思考著世界的性質和生活的目的，而不為任何因襲的正統觀念的枷鎖所束縛。”
第二，古希臘人在哲學、科學思想方面取得了很高的成就。他們創立並發展了很多思想理論，他們對很多問題的思考已經到了相當高的層面，一直到今天，還在影響著哲學與科學的發展。甚至可以說，我們當今哲學與科學所研究的問題，都是對古希臘人的延續。我們要想深入理解這些問題，就必須回頭看看古希臘人是如何思考的，因此才會有“言必稱希臘”的說法。
古希臘文明的象徵——雅典帕特農神廟
畢達哥拉斯
說古希臘人在思維層面達到相當高超的水平，主要是因為在西方文明中，古希臘人第一次思考了世界的本原是什麼？歷史上第一位有記載的哲學家叫泰勒斯(Thales)，他的哲學思想只有一句話：水是萬物的本原。之後的阿那克西美尼(Anaximenes, 公元前586年—前526年)認為，氣是萬物的本原，另一位非常著名的哲學家赫拉克里特(Heraclitus, 公元前544年-公元前480年)認為，火是萬物的本原。不過，不管是水，氣，還是火，這都是大自然界中具體的事物。因此，這個階段的西方哲學，還只是停留在自然哲學的水平，對世界本原的探討還沒有上升到抽象的高度。
而第一個真正用抽象事物來解釋世界本源的，則是畢達哥拉斯(Pythagoras)。而他的思想也正與數學有關，即：
數是萬物的本原。 畢達哥拉斯是古希臘早期最重要的一位哲學家，他不僅自己成就非凡，同時還招收了大量學生，領導並創立了著名的“畢達哥拉斯學派”，專門從事哲學、科學和宗教方面的研究，甚至參與政治活動，是一個在當時擁有廣泛影響力的神秘團體。
“數是世界的本原”這一思想的提出，主要是因為畢達哥拉斯學派的成員們發現，世界萬物各種現象中都隱含著數量關係。當時他們在研究聲樂的時候發現，琴絃的弦長與音調之間有密切的關係，比如兩根弦的長度比為2:1時，就會產生相差八度的諧音。這一發現給畢達哥拉斯學派留下了深刻的印象，因此他們認為數才是世間萬物最終極的奧秘。
這一思想的提出，還有另外一層重要的含義。在畢達哥拉斯的哲學中，特別強調了“和諧”的概念。他們認為宇宙是有秩序的，萬事萬物按照秩序排列在一起就產生了和諧。宇宙就是天體的和諧，一切美好的事物都是和諧。音樂是和諧，天體是和諧，人的靈魂也是和諧，而這一切的本源就在於數的和諧。因為數量成比例才會產生秩序，否則就會雜亂無章。從這個角度來看，畢達哥拉斯確實抓住了數學的本質：一個兩層的樓房如果兩層高度相同，那麼它看起來就勻稱美觀；如果一層高一層矮看起來就會很彆扭，這不正是1+1=2嗎。
正是因為畢達哥拉斯學派對數的偏愛，使他們投入了大量的精力研究數，並由此產生了豐富的成果。比如著名的勾股定理，在西方就叫“畢達哥拉斯定理”(Pythagrean Theorem)，畢達哥拉斯不僅發現了勾股定理，而且還給出了它的證明。
畢達哥拉斯的“弦圖證明”
勾股定理的發現還直接導致了無理數的發現，並由此引發了第一次數學危機，這個故事估計大家都已經很熟悉了。
畢達哥拉斯的“數是萬物本原”這一思想，在西方哲學史上的重要意義是：擺脫了自然哲學的限制，從純粹的思維與抽象的層面來思考問題。從這個意義上講，畢達哥拉斯被稱為世界上最偉大的數學家也不過分，因為如果沒有他的話，我們可能今天就沒有數學這門學科了。
芝諾
我們前文提過的赫拉克利特，最重要的思想是：世界的本質是永恆變化的。他的名言“人不可能兩次踏入同一條河流”相信很多人都聽說過。而隨後的另一位哲學家巴門尼德(Parmenides)，則提出了相反的觀點，他認為千變萬化只是事物的表象，而事物的本質是
“存在”，它是永恆不變的。巴門尼德的學生芝諾(Zeno)繼承了老師的思想，他提出了著名的4個悖論來論證運動是不存在的。4個悖論中最出名的就是阿基里斯與烏龜賽跑的故事，這個你可以在很多書上讀到，我只是簡要來敘述一下。
阿基里斯(Achilles)是古希臘神話中的飛毛腿，芝諾假設有一天他要和一隻烏龜賽跑，他是這樣想的：
開始時阿基里斯落後烏龜10km，假設阿基里斯的速度是烏龜的10倍，那麼一直跑下去阿基里斯肯定能追上烏龜。但是現在我們考慮另外一種事實，當阿基里斯正好跑完這10km時，烏龜又往前跑了1km；當阿基里斯跑完這1km時，烏龜又跑了0.1km；當阿基里斯跑了0.1km時，烏龜又跑了0.01km……，如此下去，阿基里斯永遠也趕不上烏龜。
“芝諾悖論”圖解
當然，芝諾提出這個悖論，並不是為了要解決什麼數學問題，而只是為他老師巴門尼德的哲學觀點做辯護。但是這一悖論卻對後世的數學家們產生了深遠影響。數學家們不得不直面“無窮”這一概念，而後的一系列數學發展都與無窮有關。比如微積分中的無窮小量、無窮大量，集合論中的無窮基數等等，集合論的創始人康託(Cantor, 1845-1978)，甚至還因此發瘋，住進了精神病院。人們發展出各種各樣關於無窮的理論，卻始終沒有完美地解決芝諾悖論。因此芝諾本人可能也沒有意識到，他只是為了哲學上的需要而提出的這個問題，卻成了數學家們永恆的噩夢。
上面提到的這些哲學家，還只是處於古希臘哲學的早期階段，經過了幾百年的積累，到了蘇格拉底，古希臘哲學迎來其全盛時期。蘇格拉底最重要的徒弟柏拉圖，以及柏拉圖最重要的徒弟亞里士多德，將古希臘哲學推上巔峰。那麼這兩位哲學大師又是如何看待數學的呢？
拉斐爾的名畫《雅典學院》，正中間的兩人，指天者為柏拉圖，指地者為亞里士多德
柏拉圖
柏拉圖(Plato, 公元前427年-公元前347年)可謂是西方哲學的祖師爺，20世紀著名哲學家，英國劍橋大學教授懷特海(Whitehead, 1861~1947)曾經說過：
“西方2000多年的哲學，不過是給柏拉圖的思想做註腳”。柏拉圖的哲學可謂是體系龐大，包羅萬象，其中最重要的思想就是所謂的“理念論”（Idealism)，而他關於數學的哲學觀點，也是構建在理念論之上的。所以要介紹柏拉圖的數學哲學，有必要先了解一下什麼是理念論。- 1.理念論
柏拉圖認為存在著兩個世界，一個是感官世界，一個是理念世界。感官世界就是你現在身處的這個能看得見的世界，它是由一個個具體的、能看得見摸得著的事物組成。而在此之上的，則是理念世界。理念世界是由一個個抽象的理念組成的，所謂理念，就是同一類事物所共同具有的抽象形式。舉個簡單的例子，比如你去傢俱店會碰到各種各樣的桌子，高的矮的，三條腿的四條腿的，方的圓的，紅的黃的等等，但是這些桌子都有一些共同的特徵，比如都是半人高，有腿的，能立起來的，表面平坦可以擺放物品。而正是這些特徵使得你把這類事物稱之為桌子。如果你碰見一個東西，它巴掌高，上面有口裡面凹進去，可以盛放液體，那就不能管他叫桌子而只能叫杯子。因此，共同的一類事物都會有一個共同的抽象形式，按照柏拉圖的觀點
，一張張具體的桌子屬於感官世界，這個共同的抽象形式，即理念，則是屬於理念世界。
柏拉圖畫像
其實，關於具體與抽象的關係，在此之前人們也已經認識到了，但是柏拉圖的理念論哲學則堅定地認為，理念世界是一個真實存在的世界，它甚至可以脫離感官世界而存在。意思是即使沒有一張張具體的桌子，那也會有一個桌子的抽象形式存在於理念世界中。先有的理念世界，再有的感官世界。感官世界中一個個具體的事物，都是對理念世界中抽象形式的摹仿。
就好比美術學院的學生要畫一幅人體素描，模特就是屬於理念世界，而學生的一幅幅作品則是屬於感官世界。
一句話總結，柏拉圖理念論的核心就是：抽象形式可以脫離於具體事物而存在。這一觀點可謂是驚世駭俗，對後世的哲學產生了重大影響。尤其是在中世紀，關於
唯實論和唯名論的爭論到了白熱化的程度，其實就是源自於柏拉圖的這一思想。- 2.數學就是理念
有哲學家認為，柏拉圖對數學的思考，是理念論的來源之一。因為數學顯然不是具體的事物，而是抽象的形式。在柏拉圖的一些弟子中，甚至直接就認為，“數”就是理念，這在某種程度上也是對畢達哥拉斯學派的呼應。而按照理念論的觀點，理念是真實存在的，因而數學對象也是真實存在的，它的存在不依賴於時間，空間，人的思維以及現實生活中形形色色的事物。即使沒有萬事萬物，數學中的概念與對象也是存在著的。
理念世界是理性認識的對象，而感官世界則是感官認識的對象。理念世界中的事物是永恆的，不變的，單純的，感官世界中的對象則是暫時的，變化的，雜多的。因此我們要追求永恆的真理，必須要到理念世界中。數學概念以及數學命題，就是存在於理念世界中的，因此它們就是永恆的真理。
舉個例子，比如“2”這個概念，它存在於理念世界中。而在感官世界中，我們則只能看到兩個蘋果，兩張桌子，兩隻貓或隨便的兩個什麼東西。而“2”這概念是可以獨立存在的，即使是沒有人見過兩個蘋果等等，那麼“2”這個概念也是存在著的。
因此我們要追求永恆的真理，就必須要運用理性來認識理念世界。兩個蘋果明天可能就會變成兩個蘋果核，但是“2”則是永恆不變的。
闡述柏拉圖宇宙生成論的重要著作《蒂邁歐篇》（Timaeus）
柏拉圖的這一思想，到後世就發展為數學哲學中著名的“柏拉圖主義”(Platonism)，直到今天還是數學哲學研究的熱門話題。
當然，哲學永無對錯，柏拉圖的這些觀點也會遭到另一些人的反對，而在反對的人中名望最高的，則是他的學生——亞里士多德。
亞里士多德
亞里士多德(Aristotle,公元前384年-公元前322年)有一句很著名的話相信很多人都聽說過：“吾愛吾師，吾更愛真理”。吾師自然指的是柏拉圖，亞里士多德的意思是，雖然我很尊敬我的老師，但是我更加追求真理。隱藏的意思就是，柏拉圖的觀點不是真理。所以這句話也就表明，亞里士多德走上了一條和柏拉圖截然相反的哲學道路。
亞里士多德
- 1.亞里士多德對柏拉圖的反駁
亞里士多德的本體論與柏拉圖最大的不同就是，他反對柏拉圖認為“理念”可以脫離於具體的事物而獨立存在這一觀點。亞里士多德有關本體論的思想主要記載在他的《形而上學》中。他認為理念與具體事物是不可分離的，理念是寓於具體事物之中的。沒有一個個具體的事物，理念也就不可能存在。
還拿剛才的桌子來舉例子，桌子的抽象形式是存在於每一張具體的桌子之中的，而在所有的桌子之外，就沒有這個抽象的形式了。所以如果世界上所有的桌子都消失了，那麼桌子的這個抽象形式也就消失了。
“形而上學”這個詞來源於英文metaphysics，意思是“物理學之上的學問”，即研究事物表面在之後的本質
可以看出，亞里士多德的本體論觀點與柏拉圖是完全對立的。因此以之為基礎的數學哲學，觀點自然也是與柏拉圖對立的。
既然柏拉圖學派把“數”當成一種理念，那麼它就不能單獨地存在。數學概念也只能是存在於一個個的具體事物之中，不能與其脫離。假如沒有兩個蘋果，兩張桌子等等，那麼也就不會有“2”這個理念。而“2”這個理念的出現是人們思維的結果，人們從大量的成雙的事物中發現了共同的特徵，通過思維把它抽象為“2”，因此只有在思維層面，理念和具體事物才是可以分離的。
哈佛大學的校訓：與柏拉圖為友，與亞里士多德為友，更要與真理為友
如同柏拉圖的思想到後世發展為“柏拉圖主義”一樣，亞里士多德這一截然對立的觀點也對後世影響巨大，逐漸形成了所謂的“反柏拉圖主義”(Anti-Platonism)。柏拉圖主義與反柏拉圖主義的爭論是數學哲學中關於數學本體論的核心問題。
這裡順便提一句，上面展示的拉斐爾那幅畫中，柏拉圖和亞里士多德的形象是非常傳神的。柏拉圖哲學追求的是理想、完美、超越現實，比如他的理念世界就是一個類似於天堂的、純粹的完美的世界，因此他的手指向天空。而亞里士多德與其相反，他更多思考的是現實世界，感官世界，具體世界，用今天的話講就是“接地氣”，所以他的手是指向地面的。由此可見，拉斐爾對哲學的理解也是很到位的。
- 2.實無限與潛無限
“無限”是一個數學家和哲學家到今天都非常著迷的概念，目前關於無限的觀點可以歸納為兩類：
實無限和潛無限。而亞里士多德在數學哲學中的又一偉大貢獻就是，第一次明確劃分了實無限與潛無限的概念。
簡單地說，“實無限”認為，無限是一個已經完成了的事物，它是一個實實在在存在著的事物，我們可以把它當成一個整體來看待，來思考它的性質。而
“潛無限”則認為，無限是一個永不停止，不斷延續，沒有終點的過程，因為它永無窮盡，所以我們不能把它當成一個已經存在著的整體來把握，因此我們無法來思考無限本身如何如何。好比我們熟悉的自然數，我們無法思考“全體自然數”這個概念，因為每當你找到一個自然數，都可以找到一個它更往後的自然數，這一過程是永無窮盡的，所以根本就不存在“全體自然數”這個東西。
數學上表示無窮大的符號
亞里士多德是歷史上第一個對二者作出明確區分的人，而且他還表明了對這兩種觀點的態度：承認潛無限，而不承認實無限。
亞里士多德給出的理由有兩個：第一，感性事物不可能是無限的；第二，作為一種觀念，無限也只能是“潛在的”，而不可能是“實在的”。他在自己的著作《物理學》中寫到：
“無限只是一個過程，即一種永遠處於產生或滅亡中的過程，而不是一個已產生的實體”
這裡又要插一句題外話了，當代的數學沒有采用亞里士多德的觀點，而是採用的是實無限的觀點，其實這其中的道理想想也很簡單，按照亞里士多德的觀點，全體自然數如果都不存在的話，那麼全體實數、複數也就更不可能存在了，那麼我們數學還怎麼發展呢。
結語
古希臘時期是人類思想發展史上的一座高峰，無數哲學家，思想家，科學家，如繁星般點綴在人類思想曙光乍現的天空之中。甚至有人認為，後人很難能達到古希臘時期的高度。因此，多讀讀古希臘，不僅是瞭解西方文明與西方思想的一面窗子，也是啟迪自己思維智慧的一面鏡子。
本文參加【科學V計劃】，內容為作者原創
