引言
科技史与哲学史界有一个非常流行的说法，叫做
“言必称希腊”。当然这个希腊不是指现在的希腊，而是西方文明的发祥地——古希腊，就是那个诞生了苏格拉底，柏拉图，亚里士多德的地方。这句话有两层含义。第一，西方的哲学、科学乃至数学都起源于古希腊。在此之前，不是说没有科学思想，而是没有人把科学从日常的生产劳作中抽象出来，完整而系统地发展成为一种人类思维的研究对象。英国哲学家罗素(Bertrand Russell, 1972~1970)在其著名的《西方哲学史》(The history of western philosophy)中写到：
“在全部的历史里，最使人感到惊异或难于解说的莫过于希腊文明的突然兴起了。构成文明的大部分东西已经在埃及和美索不达米亚存在了好几千年，又从那里传播到了四邻的国家。但是其中却始终缺少着某些因素，直等到希腊人才把它们提供出来。希腊人在文学艺术上的成就是大家熟知的，但是他们在纯粹知识的领域上所做出的贡献还要更加不平凡。他们首创了数学、科学和哲学；他们最先写出了有别于纯粹编年表的历史书；他们自由 地思考着世界的性质和生活的目的，而不为任何因袭的正统观念的枷锁所束缚。”
第二，古希腊人在哲学、科学思想方面取得了很高的成就。他们创立并发展了很多思想理论，他们对很多问题的思考已经到了相当高的层面，一直到今天，还在影响着哲学与科学的发展。甚至可以说，我们当今哲学与科学所研究的问题，都是对古希腊人的延续。我们要想深入理解这些问题，就必须回头看看古希腊人是如何思考的，因此才会有“言必称希腊”的说法。
古希腊文明的象征——雅典帕特农神庙
毕达哥拉斯
说古希腊人在思维层面达到相当高超的水平，主要是因为在西方文明中，古希腊人第一次思考了世界的本原是什么？历史上第一位有记载的哲学家叫泰勒斯(Thales)，他的哲学思想只有一句话：水是万物的本原。之后的阿那克西美尼(Anaximenes, 公元前586年—前526年)认为，气是万物的本原，另一位非常著名的哲学家赫拉克里特(Heraclitus, 公元前544年-公元前480年)认为，火是万物的本原。不过，不管是水，气，还是火，这都是大自然界中具体的事物。因此，这个阶段的西方哲学，还只是停留在自然哲学的水平，对世界本原的探讨还没有上升到抽象的高度。
而第一个真正用抽象事物来解释世界本源的，则是毕达哥拉斯(Pythagoras)。而他的思想也正与数学有关，即：
数是万物的本原。 毕达哥拉斯是古希腊早期最重要的一位哲学家，他不仅自己成就非凡，同时还招收了大量学生，领导并创立了著名的“毕达哥拉斯学派”，专门从事哲学、科学和宗教方面的研究，甚至参与政治活动，是一个在当时拥有广泛影响力的神秘团体。
“数是世界的本原”这一思想的提出，主要是因为毕达哥拉斯学派的成员们发现，世界万物各种现象中都隐含着数量关系。当时他们在研究声乐的时候发现，琴弦的弦长与音调之间有密切的关系，比如两根弦的长度比为2:1时，就会产生相差八度的谐音。这一发现给毕达哥拉斯学派留下了深刻的印象，因此他们认为数才是世间万物最终极的奥秘。
这一思想的提出，还有另外一层重要的含义。在毕达哥拉斯的哲学中，特别强调了“和谐”的概念。他们认为宇宙是有秩序的，万事万物按照秩序排列在一起就产生了和谐。宇宙就是天体的和谐，一切美好的事物都是和谐。音乐是和谐，天体是和谐，人的灵魂也是和谐，而这一切的本源就在于数的和谐。因为数量成比例才会产生秩序，否则就会杂乱无章。从这个角度来看，毕达哥拉斯确实抓住了数学的本质：一个两层的楼房如果两层高度相同，那么它看起来就匀称美观；如果一层高一层矮看起来就会很别扭，这不正是1+1=2吗。
正是因为毕达哥拉斯学派对数的偏爱，使他们投入了大量的精力研究数，并由此产生了丰富的成果。比如著名的勾股定理，在西方就叫“毕达哥拉斯定理”(Pythagrean Theorem)，毕达哥拉斯不仅发现了勾股定理，而且还给出了它的证明。
毕达哥拉斯的“弦图证明”
勾股定理的发现还直接导致了无理数的发现，并由此引发了第一次数学危机，这个故事估计大家都已经很熟悉了。
毕达哥拉斯的“数是万物本原”这一思想，在西方哲学史上的重要意义是：摆脱了自然哲学的限制，从纯粹的思维与抽象的层面来思考问题。从这个意义上讲，毕达哥拉斯被称为世界上最伟大的数学家也不过分，因为如果没有他的话，我们可能今天就没有数学这门学科了。
芝诺
我们前文提过的赫拉克利特，最重要的思想是：世界的本质是永恒变化的。他的名言“人不可能两次踏入同一条河流”相信很多人都听说过。而随后的另一位哲学家巴门尼德(Parmenides)，则提出了相反的观点，他认为千变万化只是事物的表象，而事物的本质是
“存在”，它是永恒不变的。巴门尼德的学生芝诺(Zeno)继承了老师的思想，他提出了著名的4个悖论来论证运动是不存在的。4个悖论中最出名的就是阿基里斯与乌龟赛跑的故事，这个你可以在很多书上读到，我只是简要来叙述一下。
阿基里斯(Achilles)是古希腊神话中的飞毛腿，芝诺假设有一天他要和一只乌龟赛跑，他是这样想的：
开始时阿基里斯落后乌龟10km，假设阿基里斯的速度是乌龟的10倍，那么一直跑下去阿基里斯肯定能追上乌龟。但是现在我们考虑另外一种事实，当阿基里斯正好跑完这10km时，乌龟又往前跑了1km；当阿基里斯跑完这1km时，乌龟又跑了0.1km；当阿基里斯跑了0.1km时，乌龟又跑了0.01km……，如此下去，阿基里斯永远也赶不上乌龟。
“芝诺悖论”图解
当然，芝诺提出这个悖论，并不是为了要解决什么数学问题，而只是为他老师巴门尼德的哲学观点做辩护。但是这一悖论却对后世的数学家们产生了深远影响。数学家们不得不直面“无穷”这一概念，而后的一系列数学发展都与无穷有关。比如微积分中的无穷小量、无穷大量，集合论中的无穷基数等等，集合论的创始人康托(Cantor, 1845-1978)，甚至还因此发疯，住进了精神病院。人们发展出各种各样关于无穷的理论，却始终没有完美地解决芝诺悖论。因此芝诺本人可能也没有意识到，他只是为了哲学上的需要而提出的这个问题，却成了数学家们永恒的噩梦。
上面提到的这些哲学家，还只是处于古希腊哲学的早期阶段，经过了几百年的积累，到了苏格拉底，古希腊哲学迎来其全盛时期。苏格拉底最重要的徒弟柏拉图，以及柏拉图最重要的徒弟亚里士多德，将古希腊哲学推上巅峰。那么这两位哲学大师又是如何看待数学的呢？
拉斐尔的名画《雅典学院》，正中间的两人，指天者为柏拉图，指地者为亚里士多德
柏拉图
柏拉图(Plato, 公元前427年-公元前347年)可谓是西方哲学的祖师爷，20世纪著名哲学家，英国剑桥大学教授怀特海(Whitehead, 1861~1947)曾经说过：
“西方2000多年的哲学，不过是给柏拉图的思想做注脚”。柏拉图的哲学可谓是体系庞大，包罗万象，其中最重要的思想就是所谓的“理念论”（Idealism)，而他关于数学的哲学观点，也是构建在理念论之上的。所以要介绍柏拉图的数学哲学，有必要先了解一下什么是理念论。- 1.理念论
柏拉图认为存在着两个世界，一个是感官世界，一个是理念世界。感官世界就是你现在身处的这个能看得见的世界，它是由一个个具体的、能看得见摸得着的事物组成。而在此之上的，则是理念世界。理念世界是由一个个抽象的理念组成的，所谓理念，就是同一类事物所共同具有的抽象形式。举个简单的例子，比如你去家具店会碰到各种各样的桌子，高的矮的，三条腿的四条腿的，方的圆的，红的黄的等等，但是这些桌子都有一些共同的特征，比如都是半人高，有腿的，能立起来的，表面平坦可以摆放物品。而正是这些特征使得你把这类事物称之为桌子。如果你碰见一个东西，它巴掌高，上面有口里面凹进去，可以盛放液体，那就不能管他叫桌子而只能叫杯子。因此，共同的一类事物都会有一个共同的抽象形式，按照柏拉图的观点
，一张张具体的桌子属于感官世界，这个共同的抽象形式，即理念，则是属于理念世界。
柏拉图画像
其实，关于具体与抽象的关系，在此之前人们也已经认识到了，但是柏拉图的理念论哲学则坚定地认为，理念世界是一个真实存在的世界，它甚至可以脱离感官世界而存在。意思是即使没有一张张具体的桌子，那也会有一个桌子的抽象形式存在于理念世界中。先有的理念世界，再有的感官世界。感官世界中一个个具体的事物，都是对理念世界中抽象形式的摹仿。
就好比美术学院的学生要画一幅人体素描，模特就是属于理念世界，而学生的一幅幅作品则是属于感官世界。
一句话总结，柏拉图理念论的核心就是：抽象形式可以脱离于具体事物而存在。这一观点可谓是惊世骇俗，对后世的哲学产生了重大影响。尤其是在中世纪，关于
唯实论和唯名论的争论到了白热化的程度，其实就是源自于柏拉图的这一思想。- 2.数学就是理念
有哲学家认为，柏拉图对数学的思考，是理念论的来源之一。因为数学显然不是具体的事物，而是抽象的形式。在柏拉图的一些弟子中，甚至直接就认为，“数”就是理念，这在某种程度上也是对毕达哥拉斯学派的呼应。而按照理念论的观点，理念是真实存在的，因而数学对象也是真实存在的，它的存在不依赖于时间，空间，人的思维以及现实生活中形形色色的事物。即使没有万事万物，数学中的概念与对象也是存在着的。
理念世界是理性认识的对象，而感官世界则是感官认识的对象。理念世界中的事物是永恒的，不变的，单纯的，感官世界中的对象则是暂时的，变化的，杂多的。因此我们要追求永恒的真理，必须要到理念世界中。数学概念以及数学命题，就是存在于理念世界中的，因此它们就是永恒的真理。
举个例子，比如“2”这个概念，它存在于理念世界中。而在感官世界中，我们则只能看到两个苹果，两张桌子，两只猫或随便的两个什么东西。而“2”这概念是可以独立存在的，即使是没有人见过两个苹果等等，那么“2”这个概念也是存在着的。
因此我们要追求永恒的真理，就必须要运用理性来认识理念世界。两个苹果明天可能就会变成两个苹果核，但是“2”则是永恒不变的。
阐述柏拉图宇宙生成论的重要著作《蒂迈欧篇》（Timaeus）
柏拉图的这一思想，到后世就发展为数学哲学中著名的“柏拉图主义”(Platonism)，直到今天还是数学哲学研究的热门话题。
当然，哲学永无对错，柏拉图的这些观点也会遭到另一些人的反对，而在反对的人中名望最高的，则是他的学生——亚里士多德。
亚里士多德
亚里士多德(Aristotle,公元前384年-公元前322年)有一句很著名的话相信很多人都听说过：“吾爱吾师，吾更爱真理”。吾师自然指的是柏拉图，亚里士多德的意思是，虽然我很尊敬我的老师，但是我更加追求真理。隐藏的意思就是，柏拉图的观点不是真理。所以这句话也就表明，亚里士多德走上了一条和柏拉图截然相反的哲学道路。
亚里士多德
- 1.亚里士多德对柏拉图的反驳
亚里士多德的本体论与柏拉图最大的不同就是，他反对柏拉图认为“理念”可以脱离于具体的事物而独立存在这一观点。亚里士多德有关本体论的思想主要记载在他的《形而上学》中。他认为理念与具体事物是不可分离的，理念是寓于具体事物之中的。没有一个个具体的事物，理念也就不可能存在。
还拿刚才的桌子来举例子，桌子的抽象形式是存在于每一张具体的桌子之中的，而在所有的桌子之外，就没有这个抽象的形式了。所以如果世界上所有的桌子都消失了，那么桌子的这个抽象形式也就消失了。
“形而上学”这个词来源于英文metaphysics，意思是“物理学之上的学问”，即研究事物表面在之后的本质
可以看出，亚里士多德的本体论观点与柏拉图是完全对立的。因此以之为基础的数学哲学，观点自然也是与柏拉图对立的。
既然柏拉图学派把“数”当成一种理念，那么它就不能单独地存在。数学概念也只能是存在于一个个的具体事物之中，不能与其脱离。假如没有两个苹果，两张桌子等等，那么也就不会有“2”这个理念。而“2”这个理念的出现是人们思维的结果，人们从大量的成双的事物中发现了共同的特征，通过思维把它抽象为“2”，因此只有在思维层面，理念和具体事物才是可以分离的。
哈佛大学的校训：与柏拉图为友，与亚里士多德为友，更要与真理为友
如同柏拉图的思想到后世发展为“柏拉图主义”一样，亚里士多德这一截然对立的观点也对后世影响巨大，逐渐形成了所谓的“反柏拉图主义”(Anti-Platonism)。柏拉图主义与反柏拉图主义的争论是数学哲学中关于数学本体论的核心问题。
这里顺便提一句，上面展示的拉斐尔那幅画中，柏拉图和亚里士多德的形象是非常传神的。柏拉图哲学追求的是理想、完美、超越现实，比如他的理念世界就是一个类似于天堂的、纯粹的完美的世界，因此他的手指向天空。而亚里士多德与其相反，他更多思考的是现实世界，感官世界，具体世界，用今天的话讲就是“接地气”，所以他的手是指向地面的。由此可见，拉斐尔对哲学的理解也是很到位的。
- 2.实无限与潜无限
“无限”是一个数学家和哲学家到今天都非常着迷的概念，目前关于无限的观点可以归纳为两类：
实无限和潜无限。而亚里士多德在数学哲学中的又一伟大贡献就是，第一次明确划分了实无限与潜无限的概念。
简单地说，“实无限”认为，无限是一个已经完成了的事物，它是一个实实在在存在着的事物，我们可以把它当成一个整体来看待，来思考它的性质。而
“潜无限”则认为，无限是一个永不停止，不断延续，没有终点的过程，因为它永无穷尽，所以我们不能把它当成一个已经存在着的整体来把握，因此我们无法来思考无限本身如何如何。好比我们熟悉的自然数，我们无法思考“全体自然数”这个概念，因为每当你找到一个自然数，都可以找到一个它更往后的自然数，这一过程是永无穷尽的，所以根本就不存在“全体自然数”这个东西。
数学上表示无穷大的符号
亚里士多德是历史上第一个对二者作出明确区分的人，而且他还表明了对这两种观点的态度：承认潜无限，而不承认实无限。
亚里士多德给出的理由有两个：第一，感性事物不可能是无限的；第二，作为一种观念，无限也只能是“潜在的”，而不可能是“实在的”。他在自己的著作《物理学》中写到：
“无限只是一个过程，即一种永远处于产生或灭亡中的过程，而不是一个已产生的实体”
这里又要插一句题外话了，当代的数学没有采用亚里士多德的观点，而是采用的是实无限的观点，其实这其中的道理想想也很简单，按照亚里士多德的观点，全体自然数如果都不存在的话，那么全体实数、复数也就更不可能存在了，那么我们数学还怎么发展呢。
结语
古希腊时期是人类思想发展史上的一座高峰，无数哲学家，思想家，科学家，如繁星般点缀在人类思想曙光乍现的天空之中。甚至有人认为，后人很难能达到古希腊时期的高度。因此，多读读古希腊，不仅是了解西方文明与西方思想的一面窗子，也是启迪自己思维智慧的一面镜子。
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