“do, re, mi……”隨著這幾個簡單的音節，我們開始了人生的第一堂音樂課，數字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。
提到數學與音樂的關係，我們所能想到的第一個有關音樂與數學的結合，也許就是這7個基本音階了。但你可曾想過，這些音階是按照什麼規律排列的呢？
音律背後的比例和分數乘法
音的高低由弦振動的頻率決定。如何定出音律，即定出音階：CDEFGABCdoremifasollasido的頻率比？這是音樂的根本問題。
畢達哥拉斯琴絃律
畢達哥拉斯發現音律有一段美麗的故事。有一天畢達哥拉斯偶然經過一家打鐵店門口，被鐵錘打鐵的有節奏的悅耳聲音所吸引。他感到很驚奇，於是走入店中觀察研究。他發現有四個鐵錘的重量比恰為12：9：8：6，將兩個兩個一組來敲打都發出和諧的聲音，分別是：12:6=2:1的一組，12:8=9:6=3:2的一組，12:9=8:6=4:3的一組。畢達哥拉斯進一步用單絃琴做實驗加以驗證，參見圖2。對於固定張力的弦，利用可自由滑動的琴馬來調節弦的長度，一面彈，一面聽。
畢達哥拉斯經過反覆的試驗，終於初步發現了音樂的奧秘，歸結出畢達哥拉斯的琴絃律：
（1）當兩個音的弦長成為簡單整數比時，同時或連續彈奏，所發出的聲音是和諧悅耳的；
（2）兩音弦長之比為4:3，3:2及2:1時，是和諧的，並且音程分別為四度、五度及八度。也就是說，如果兩根繃得一樣緊的弦的長度之比是 2 : 1, 同時或連續彈奏，就會發出相差八度的諧音; 而如果兩條弦的長度的比是 3 :2時, 就會發出另一種諧音，短弦發出的音比長弦發出的音高五度; 等等。
物理學家伽利略(1564-1642)發現弦振動的頻率跟弦長成反比。因此，我們可以將畢達哥拉斯所採用的“弦長”改為“頻率”來定一個音的高低。從而畢達哥拉斯的發現就是：兩音的頻率比為1:2，2:3及3:4時，分別相差八度、五度及四度音。例如，頻率為200與300的兩音恰好相差五度音。
單絃琴
畢達哥拉斯音律是弦長的簡單整數比。聲音透過一些簡單而固定的比例，形成令人喜悅的和諧音樂，這就是一種特別的數學表現。不僅如此，和諧的比例還貫穿於整個藝術、大自然和人生之中。畢達哥拉斯的門徒們相信星球距離地球也成簡單整數比，它們繞地球運行時會發出美妙的球體音樂。
正如萊布尼茨的名言所說：“音樂是數學在靈魂中無意識的運算 。”音樂正如有情緒的數學，而數學則像最純粹的音樂，樂音激盪，而數字翩躚，音樂與數學恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！
斐波那契數列
我們知道在鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音樂中的一個八度音程（如圖一）。其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵 ，而5個黑鍵分成2組 ，一組有2個黑鍵 ，一組有3個黑鍵。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數列中的前幾個數。
樂譜上的分數
在樂譜中, 我們可以找到拍號、單純音符、附點音符等，莫不與分數息息相關。譜寫樂曲要使音符適合於每音節的拍子數,這實質是分數求和的過程——在一個固定的拍子裡,不同時值的音符必須使它湊成一個特定的節拍。
在每一首樂曲的開頭部分，我們總能看到一個分數，比如4/4,3/4，或6/8等，這些分數是用來表示不同拍子的符號，即拍號。其中分數的分子表示每小節中單位拍的數目，分母表示以幾分音符為一拍。如，4/4表示以四分音符為一拍，每小節4拍。拍號一旦確定，那麼每小節內的音符就要遵循由拍號所確定的拍數，這可以通過數學中的分數加法法則來檢驗。比如，就符合由拍號4/4和3/4分別所確定的拍數。因為1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;而不符合由拍號4/4和3/4分別所確定的拍數，因為1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。這些看似簡單的要求正是音樂作曲的基礎。
對樂聲本質的研究，在19世紀法國數學家傅立葉的著作中達到了頂峰。他證明了所有的樂聲——不管是器樂還是聲樂——都能用數學表達式來描述，它們是一些簡單的正弦週期函數的和。每種聲音都有三種品質：音調、音量和音色，並以此與其他的樂聲相區別。
傅立葉的發現，使人們可以將聲音的三種品質通過圖解加以描述並區分。音調與曲線的頻率有關，音量與曲線的振幅有關，而音色則與週期函數的形狀有關。
很少有人既通曉數學又通曉音樂，這使得把計算機用於合成音樂及樂器設計等方面難於成功。數學的發現，即週期函數，是現代樂器設計和計算機音響設計的精髓。許多樂器的製造都是把它們產生的聲音的圖象，與這些樂器理想聲音的圖象相比較然後加以改進的。電子音樂的創作也跟週期圖象緊密聯繫著的。音樂家和數學家們將在音樂的創作與再創作方面，繼續擔任著同等重要的角色。
事實上，隨著對數學與音樂關係之認識的不斷加深，以數學計算代替作曲，已成為現代作曲家的一種創作方式。創作樂曲乃是將作曲的過程公式化，把音程、節奏、音色等素材都編成數碼，然後按照需求發出指令，以計算器的功能進行選擇，再將其結果編寫成樂曲並演奏出來。在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂製作等等方面，都需要數學。在音樂界,有一些數學素養很好的音樂家為音樂的發展做出了重要的貢獻。所以，對音樂表演和創造有愛好或特長的學生如果能學好數學，必然能更好地為從事音樂事業作知識預備。
