“do, re, mi……”随着这几个简单的音节，我们开始了人生的第一堂音乐课，数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音阶，读音为do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。
提到数学与音乐的关系，我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合，也许就是这7个基本音阶了。但你可曾想过，这些音阶是按照什么规律排列的呢？
音律背后的比例和分数乘法
音的高低由弦振动的频率决定。如何定出音律，即定出音阶：CDEFGABCdoremifasollasido的频率比？这是音乐的根本问题。
毕达哥拉斯琴弦律
毕达哥拉斯发现音律有一段美丽的故事。有一天毕达哥拉斯偶然经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的悦耳声音所吸引。他感到很惊奇，于是走入店中观察研究。他发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一组来敲打都发出和谐的声音，分别是：12:6=2:1的一组，12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以验证，参见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调节弦的长度，一面弹，一面听。
毕达哥拉斯经过反复的试验，终于初步发现了音乐的奥秘，归结出毕达哥拉斯的琴弦律：
（1）当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的；
（2）两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和谐的，并且音程分别为四度、五度及八度。也就是说，如果两根绷得一样紧的弦的长度之比是 2 : 1, 同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是 3 :2时, 就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。
物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频率跟弦长成反比。因此，我们可以将毕达哥拉斯所采用的“弦长”改为“频率”来定一个音的高低。从而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频率比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。例如，频率为200与300的两音恰好相差五度音。
单弦琴
毕达哥拉斯音律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比例，形成令人喜悦的和谐音乐，这就是一种特别的数学表现。不仅如此，和谐的比例还贯穿于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运行时会发出美妙的球体音乐。
正如莱布尼茨的名言所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算 。”音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，乐音激荡，而数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。就让我们沉醉其中，纵情感受它们的魅力吧！
斐波那契数列
我们知道在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程（如图一）。其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键 ，而5个黑键分成2组 ，一组有2个黑键 ，一组有3个黑键。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。
乐谱上的分数
在乐谱中, 我们可以找到拍号、单纯音符、附点音符等，莫不与分数息息相关。谱写乐曲要使音符适合于每音节的拍子数,这实质是分数求和的过程——在一个固定的拍子里,不同时值的音符必须使它凑成一个特定的节拍。
在每一首乐曲的开头部分，我们总能看到一个分数，比如4/4,3/4，或6/8等，这些分数是用来表示不同拍子的符号，即拍号。其中分数的分子表示每小节中单位拍的数目，分母表示以几分音符为一拍。如，4/4表示以四分音符为一拍，每小节4拍。拍号一旦确定，那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数，这可以通过数学中的分数加法法则来检验。比如，就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数。因为1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;而不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数，因为1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。
对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐——都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。
傅立叶的发现，使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。
很少有人既通晓数学又通晓音乐，这使得把计算机用于合成音乐及乐器设计等方面难于成功。数学的发现，即周期函数，是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓。许多乐器的制造都是把它们产生的声音的图象，与这些乐器理想声音的图象相比较然后加以改进的。电子音乐的创作也跟周期图象紧密联系着的。音乐家和数学家们将在音乐的创作与再创作方面，继续担任着同等重要的角色。
事实上，随着对数学与音乐关系之认识的不断加深，以数学计算代替作曲，已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化，把音程、节奏、音色等素材都编成数码，然后按照需求发出指令，以计算器的功能进行选择，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面，都需要数学。在音乐界,有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。所以，对音乐表演和创造有爱好或特长的学生如果能学好数学，必然能更好地为从事音乐事业作知识预备。
