今天給大家分享的是遼寧省瀋陽市和平區數學考試第26題，主要考察結合變換綜合題，屬於中考壓軸題，有一定的難度，有想要挑戰的同學可以嘗試一下。
【例題】
26.已知Rt△ABC，以直線AB為對稱軸畫出△ABC軸對稱圖形Rt△ABD，C點的對稱點為D點，M、N分別從C點、A點出發沿射線CA、AD方向運動，始終滿足∠MBN＝∠ABC．
（1）如圖①，M、N分別在CA、AD邊上，寫出此時△AMN的周長與線段AC之間的等量關係，並說明理由；
（2）若M點、N點到達A、D後繼續運動，其他條件不變，請在圖②中畫出變換後的圖形，你認為（1）中結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）如圖③，若△BMN中，∠MBN＝45°，MN⊥BG，MG＝4，NG＝6，請直接寫出線段BG的長．
圖1
【涉及考點】幾何變換綜合題．
【解題分析】
（1）結論：△AMN的周長＝2AC．如圖，延長AD到T，使得DT＝CM，連接BT．利用全等三角形的性質想辦法證明MN＝CM+DN就可解決問題．
（2）結論：△AMN的周長＝2AC+2AM．如圖，延長AD到T，使得DT＝CM，連接BT．證明方法類似（1）．
（3）如圖③中，將△BMG沿BM翻折得到△BEM，將△BNG沿BN翻折得到△BNH，延長EM交HN的延長線於F．證明四邊形BEFH是正方形，設AG＝m，利用勾股定理構建方程解決問題就可以了．
【詳細解答過程】
解：（1）結論：△AMN的周長＝2AC．
理由：如圖①中，延長AD到T，使得DT＝CM，連接BT．
圖2
∵△ABC與△ABD關於直線AB對稱，
∴BC＝BD，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠ADB＝∠BDT＝90°，
∵CM＝DT，
∴△BCM≌△BDT（SAS），
∴BM＝BT，∠CBM＝∠DBT，
∴∠CBD＝∠MBT，
∵∠MBN＝∠ABC＝∠ABD，
∴∠MBT＝∠CBD＝2∠MBN，
∴∠NBM＝∠NBT，
∵BN＝BN，
∴△BNM≌△BNT（SAS），
∴MN＝NT，
∵NT＝DN+DT＝DN+CM，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+CM+AN+DT＝AC+AD＝2AC．
（2）結論不成立：△AMN的周長＝2AC+2AM．
理由：如圖②中，延長AD到T，使得DT＝CM，連接BT．
圖3
∵△ABC與△ABD關於直線AB對稱，
∴BC＝BD，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠ADB＝∠BDT＝90°，
∵CM＝DT，
∴△BCM≌△BDT（SAS），
∴BM＝BT，∠CBM＝∠DBT，
∴∠CBD＝∠MBT，
∵∠MBN＝∠ABC＝∠ABD，
∴∠MBT＝∠CBD＝2∠MBN，
∴∠NBM＝∠NBT，
∵BN＝BN，
∴△BNM≌△BNT（SAS），
∴MN＝NT，
∵NT＝DT﹣DN＝CM﹣DN，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+CM+AN﹣DN＝AC+AM+AM+AD＝2AC+2AM．
（3）如圖③中，將△BMG沿BM翻折得到△BEM，將△BNG沿BN翻折得到△BNH，延長EM交HN的延長線於F．
圖4
∵BG⊥MN，
∴∠BGM＝∠BGN＝90°，
∵∠MBG＝∠MBE，∠NBG＝∠NBH，∠MBN＝45°，
∴∠EBH＝90°，
∵∠E＝∠BGM＝90°，∠H＝∠BGN＝90°，
∴四邊形BEFH是矩形，
∵BE＝BG，BH＝BG，
∴BE＝BH，
∴四邊形BEFH是正方形，設BG＝m，則BE＝BH＝EF＝FH＝m，
∵EM＝MG＝4，NG＝NH＝6，
∵FM＝m﹣4，FN＝m﹣6，
在Rt△MNF中，∵MN2＝MF2+FN2，
∴102＝（m﹣4）2+（m﹣6）2，
整理得：m2﹣10m﹣24＝0，
解得m＝12或﹣2（捨棄），
∴BG＝12．
【總結】
這道題屬於幾何變換綜合題，考查了軸對稱變換，全等三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬於中考壓軸題。
圖5
