緒 論
1.1 複習筆記
在十九世紀末、二十世紀初，經典物理取得了巨大的成功，牛頓定律、麥克斯韋方程、熱力學和統計力學相繼建立併成功應用於物理學研究和工程，但在物理大廈落成的同時，物理學家中的有識之士也意識到了天空中漂浮的烏雲。黑體輻射、光電效應和固體的比熱等一系類問題是經典物理無法解釋的。之後的舊量子論包括玻爾理論、愛因斯坦的光量子和德布羅意波粒二象性假說給物理學的發展帶來了希望，它們也為量子力學的發展奠定了基礎。
現代物理學中的兩大支柱（量子力學、相對論）逐步驗證並解釋物理實驗中的現象的同時，量子力學自身也在不斷完善，並發展出了電磁場量子化理論、解釋光子原子相互作用的量子電動力學、應用於原子中核子相互作用的量子色動力學理論，以及當下試圖對引力場解釋的超弦理論。所以，不論是為了備考還是為了將來的物理學科研，學習好量子力學是十分重要的。量子力學是現代物理學的基石，也是物理科研必備的工具。
【本章重難點】
1．瞭解經典物理的成功和所面臨的危機，以及量子力學的發展歷史；
2．掌握德布羅意波粒二象性關係；
3．熟練運用玻爾-索末菲量子化條件。
一、波粒二象性（見表1-1-1）
表1-1-1 波粒二象性相關概念
圖1-1-1 康普頓散射
二、原子結構的玻爾理論
1經典理論在解釋原子結構上的困難
（1）經典理論不能建立一個穩定的原子模型（運動的帶電粒子發射電磁場）；
（2）經典理論得出的頻率是連續分佈的，而實驗中的原子光譜是分立的。
2玻爾假設
表1-1-2 玻爾假設
3索末菲量子化條件的推廣
式中，q是電子的一個廣義座標；p是對應的廣義動量，迴路積分是沿運動軌道積一圈；n是0和正整數，稱為量子數。該推廣後的量子化條件可應用於多自由度的情況。
4玻爾理論缺陷
（1）當理論應用到結構稍複雜於氫原子的其他原子比如氦原子時，結果與實驗不符；
（2）只能求出譜線的頻率，而不能求出譜線的強度。
三、德布羅意波粒二象性假說
1德布羅意公式
德布羅意受光的波粒二象性啟發，提出微粒具有波粒二象性的假設，即微粒的粒子性（E，p→）與波動性（υ，λ或ω，k）的關係滿足：
2戴維孫-革末的電子衍射實驗
圖1-1-2
戴維孫和革末把電子束正入射到鎳單晶上（如圖1-1-2所示），觀察散射電子束的強度和散射角之間的關係，證實了德布羅意假說的正確性，即電子具有波動性。
考研真題精選
一、填空題
11924年，德布羅意提出物質波概念，認為任何實物粒子，如電子，質子，也具有波性，對於具有一定動量p的自由粒子，滿足德布羅意關係：______；假設電子由靜止被150伏電壓加速，加速後電子的物質波波長為：______。[北京大學2005研]
【答案】
，
；8.9×10－41m
2對宏觀物體而言，其對應的物質波長極短，所以宏觀物體波動性很難被我們觀察到，但最近發現介觀系統（納米尺度下的大分子）在低溫下會顯示出波動性。計算1K時，C60團簇（由60個C原子構成足球狀分子）熱運動對應的物質波波長為：______。[北京大學2005研]
【答案】2.9×10－10m
二、判斷題
1量子力學中可觀察力學量相應的算符為厄米算符。[北京大學2006研]
【答案】對查看答案
【解析】在量子力學中，表示力學量的算符都是厄米算符。
2設體系處於定態，則不含時力學量
的測量值的概率分佈不隨時間改變。[北京大學2006研]
【答案】錯查看答案
【解析】力學量F∧的平均值隨時間的變化滿足：
若
（即力學量F∧的平均值不隨時間變化），則稱F∧為守恆量。力學量F∧為守恆量的條件為：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含時力學量F∧的測量值隨時間改變可以表示為：
因此，力學量F∧的平均值是否變化不能確定，對於定態而言，任何一個波函數都可以用力學量F∧的本徵函數表示，在各個本徵函數中，力學量F∧所取值的大小是確定的。因此可以推斷，力學量F∧的測量值的概率分佈也不能確定。
3一維粒子的本徵態是不簡併的。[北京大學2006研]
【答案】錯查看答案
【解析】對於一維粒子的本徵態是否簡併不能確定，可以舉例說明。比如，一維無限深方勢阱，若勢能滿足：
在阱內（
），體系所滿足的定態薛定諤方程為：
在阱外（
），定態薛定諤方程為：
體系的能量本徵值為：
本徵函數為：
所以，顯而易見，一維無限深方勢阱的本徵態是簡併的。
4二電子的體系的自旋波函數，對於自旋交換必須反對稱。[北京大學2006研]
【答案】錯查看答案
【解析】對於二電子的體系而言，由於電子是費米子，所以滿足費米狄拉克統計，也就是體系的總波函數滿足交換反對稱，體系的總波函數為ψ（r1r2；s1s2）＝ϕ（r1r2）χ（s1s2）。
對於自旋部分，若不考慮兩電子自旋相互作用，兩電子對稱自旋波函數χs和反對稱自旋波函數χA分別寫為：
①
②
③
④
其中
表示第1（2）個電子處於自旋向上或向下的態。
對於電子的座標部分，可以取與自旋部分相反的交換對稱性，也就是，對於交換對稱的①②③三種情況的自旋波函數，座標部分可以取交換反對稱，對於交換反對稱的④情況的自旋波函數，座標部分可以取交換對稱的波函數。
5
，式中
。[南京大學1998研]
【答案】錯查看答案
【解析】利用對易關係式
可得
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來源：才聰學習網
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