1826年9月17日，在德國漢諾威的佈列斯倫茨，黎曼（1826-1866）出生在一個鄉下牧師之家，是6個孩子中的次子。
黎曼從小酷愛數學。他6歲時開始學習算術，並顯現出他的數學天才。10歲時他跟一位職業教師學習高級算術和幾何，很快便超過了老師，常常對一些問題能做出更好的答案。
黎曼14歲時到漢諾威市上中學。在校長的推薦下，黎曼借了一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的4大本的名著。幾個月之後，校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面。利用校長的藏書，黎曼還抓緊時間很快地自學了大數學家歐拉的著作，由此掌握了微積分及其分支。黎曼不僅從歐拉的著作中學到了數學知識，還學到了歐拉研究數學的技巧。
大學生涯
19歲時，黎曼進入格丁根大學學習，為了在經濟上幫助家庭以儘快找到一個有報酬的工作，他先攻讀哲學和神學，但是，除了這兩門課程以外，他也去聽數學、物理學課程。他聽了斯特恩關於方程論和定積分、高斯關於最小二乘法以及戈爾德斯米特關於地磁學的數學講座，對數學專業產生了難以割捨的興趣。
黎曼向父親講述了這一切，請求允許自己改學數學專業。父親由衷地同意了他的請求。黎曼極為高興，並深深地感激父親。
1847年，為了師從更多的大師，黎曼轉學到柏林大學，就學於大數學家雅可比、狄利克雷、斯泰納和艾森斯坦門下。他從雅可比那裡學到高等力學和高等代數，從狄利克雷那裡學到數論和分析學，從斯泰納那裡學到現代幾何，從文森斯坦那裡學到橢圓函數論。
黎曼不僅認真研讀大師的學術專著，而且虛心地向大師求教。有一次，狄利克雷來格丁根度假，黎曼趁此機會向他求教數學問題，並將自己未定稿論文交給他，請他提意見。狄利克雷被黎曼的謙虛、真誠和天才迷住了。他與黎曼長談了兩個小時，給黎曼的論文提了不少意見，給黎曼正在研究的課題作了許多指點。黎曼深感受益匪淺，他說沒有狄利克雷的指點，他將不得不在圖書館裡做好幾天的吃力研究。
生活雖然清貧，但學習極為勤勉，這使得黎曼在大學畢業時獲得了豐碩的成果。1851年底，黎曼將其博士論文呈交給大數學家高斯審閱。高斯在看了論文之後興奮不已，對黎曼的論文作出了高度評價，這對高斯來說是罕見的。高斯評語道：“黎曼先生交來的論文提供了令人信服的證據，說明作者對該文所論述的這一問題作了全面深入的研究，說明作者具有創造性的、活躍的、真正的數學頭腦，具有燦爛豐富的創造力。”
貧困中奮進
1852年初，黎曼憑藉優異的學術表現取得了博士學位，並留在了格丁根大學，把全部精力投向數學。他從不因經濟上的拈據而感到沮喪。他一方面積極準備“無薪講師”的就職演講論文，另一方面認真從事數學物理方面的研究工作。他的就職論文具有相當的難度。當初為了確定論文的選題，他向高斯提交了3個題目，以便讓高斯在其中選定一個。其中第3個題目是涉及幾何基礎的，這個題目黎曼當時並沒有多少案頭準備工作，因此黎曼從心底裡希望高斯不要選中它。可是，高斯對第3個題目卻深有研究，他已思考這個問題達60年之久。出於想看看黎曼對這個深奧的問題會做些什麼樣的創造性工作，高斯指定第3個題目作為黎曼就職演講論文的題目。事後，黎曼在向父親談起這件事時說，“所以我又處在絕境中了”、“我不得不做出這個題目”。
從1855年到1859年這5年中，經濟拮据、生活清貧一直困擾著黎曼，有時一家甚至陷入對口糧都需要算計的地步。就是在這種情況下，黎曼仍不顧物質生活的貧乏，全身心地投入到數學研究工作之中，在科學的崎嶇小道上艱苦奮鬥，並獲得了令人驚異的成就。他在數學上的許多重要成果都是在這個時期內完成的。他對阿貝爾積分和阿貝爾函數的研究，開創了現代代數幾何；他首創用復解析函數研究數論問題，開創了現代意義的解析數論；他對超幾何級數的研究，推動了數學物理和微分方程理論的發展。隨著研究成果的問世，黎曼在數學界的學術聲望迅速提高。他受到許多世界著名數學家的讚揚，獲得了一個科學家通常可能得到的最高榮譽。
大師之死
1859年黎曼33歲時，高斯去世。他被任命為格丁根大學正教授，成為繼狄利克雷之後高斯的第二個繼任者。這時黎曼的生活才開始得到改善，才開始考慮個人的婚姻問題，並在36歲時與朋友的妹妹結了婚。一年後，他的女兒出生在比薩。
但是，長時期清貧的生活、過度的操勞、發奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭。1862年黎曼患了胸膜炎，不久又患了肺病，一年後又患了黃疽病。在病魔纏身之際，只要有一些力氣，黎曼仍堅持數學研究工作。雖然這個時期黎曼積極就醫和療養，但因病入膏盲終無療效。1866年7月20日，黎曼那顆純潔、高尚的心停止了跳動。他過早地離開了人世，也過早地離開了數學，終年僅40歲。
黎曼是數學史上最具獨創性精神的數學家之一，他在眾多的數學領域裡作出了許多奠基性和創造性的研究工作：他從幾何方向開創了複變函數論；是現代意義的解析數論的奠基者；他親手建立了黎曼幾何，是組合拓撲學的開拓者。他對微積分的嚴格處理作出了重要貢獻；在數學物理和微分方程等領域內也成果豐碩。1859年，黎曼被選為柏林科學院通訊院士，1866年他被選為法國巴黎科學院通訊院士和英國皇家學會國外會員。
黎曼的英年早逝是德國數學界乃至全世界數學界的遺憾！但是他所留給數學界的，在他少量的已出版的論文集中，已有太多的豐富的概念，至今還未被後世數學家研究殆盡。
