【例題】
27.已知C為線段AB中點,∠ACM=α.Q為線段BC上一動點(不與點B重合),點P在射線CM上,連接PA,PQ,記BQ=kCP.
(1)若α=60°,k=1,
①如圖1,當Q為BC中點時,求∠PAC的度數;
②直接寫出PA、PQ的數量關係;
(2)如圖2,當α=45°時.探究是否存在常數k,使得②中的結論仍成立?若存在,寫出k的值並證明;若不存在,請說明理由.
【涉及考點】三角形綜合題.
【解題分析】
(1)如圖1,作輔助線,構建等邊三角形,證明△ADC為等邊三角形.根據等邊三角形三線合一可得∠PAC=∠PAD=30°;
②作輔助線,證明△PCD'≌△PCQ,可得PA=PQ;
(2)存在k=根號2,如圖2,作輔助線,構建全等三角形,證明△PAD≌△PQC(SAS).可得結論.
【詳細解答過程】解:(1)①如圖1,在CM上取點D,使得CD=CA,連接AD,
∵∠ACM=60°,
∴△ADC為等邊三角形.
∴∠DAC=60°.
∵C為AB的中點,Q為BC的中點,
∴AC=BC=2BQ.
∵BQ=CP,
∴AC=BC=CD=2CP.
∴AP平分∠DAC.
∴∠PAC=∠PAD=30°.
②如下圖,將△APD繞點A順時針旋轉60°得△AD'C,連接CD',
∴∠ACD'=∠ADP=60°,AP=AD',∠PAD'=60°,CD'=PD,
∴△APD'是等邊三角形,
∴PD'=AP,
∵k=1,
∴BQ=CP,
∵CD=AC=BC,
∴PD=CQ=CD',
∵∠PCQ=180°﹣∠ACP=120°,
∠PCD'=∠ACP+∠ACD'=120°,
∴∠PCD'=∠PCQ,
∴△PCD'≌△PCQ(SAS),
∴PD'=PQ,
∴PA=PQ;
(2)存在k=根號2,使得②中的結論成立.
證明:過點P作PC的垂線交AC於點D.
∵∠ACM=45°,
∴∠PDC=∠PCD=45°.
∴PC=PD,∠PDA=∠PCQ=135°.
∵CD=根號2PC,BQ=根號2PC,,
∴CD=BQ.
∵AC=BC,
∴AD=CQ.
∴△PAD≌△PQC(SAS).
∴PA=PQ.
【總結】
這道題屬於三角形的綜合題,考查三角形全等的性質和判定、等邊三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知識,解題的關鍵是作輔助線,構建等邊三角形和三角形全等,難度適中,屬於中考常考題型之一.