【例题】
27.已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．
图1
【涉及考点】三角形综合题．
【解题分析】
（1）如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；
②作辅助线，证明△PCD'≌△PCQ，可得PA＝PQ；
（2）存在k=根号2，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（SAS）．可得结论．
【详细解答过程】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，
图2
∵∠ACM＝60°，
∴△ADC为等边三角形．
∴∠DAC＝60°．
∵C为AB的中点，Q为BC的中点，
∴AC＝BC＝2BQ．
∵BQ＝CP，
∴AC＝BC＝CD＝2CP．
∴AP平分∠DAC．
∴∠PAC＝∠PAD＝30°．
②如下图，将△APD绕点A顺时针旋转60°得△AD'C，连接CD'，
图3
∴∠ACD'＝∠ADP＝60°，AP＝AD'，∠PAD'＝60°，CD'＝PD，
∴△APD'是等边三角形，
∴PD'＝AP，
∵k＝1，
∴BQ＝CP，
∵CD＝AC＝BC，
∴PD＝CQ＝CD'，
∵∠PCQ＝180°﹣∠ACP＝120°，
∠PCD'＝∠ACP+∠ACD'＝120°，
∴∠PCD'＝∠PCQ，
∴△PCD'≌△PCQ（SAS），
∴PD'＝PQ，
∴PA＝PQ；
（2）存在k=根号2，使得②中的结论成立．
证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．
图4
∵∠ACM＝45°，
∴∠PDC＝∠PCD＝45°．
∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．
∵CD=根号2PC,BQ=根号2PC，，
∴CD＝BQ．
∵AC＝BC，
∴AD＝CQ．
∴△PAD≌△PQC（SAS）．
∴PA＝PQ．
【总结】
这道题属于三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型之一．
图5
