《這才是數學》是斯坦福大學教授 喬.博勒的作品，作者常年在美國和英國的數學課堂調研，縱向數年時間去觀察跟蹤幾千個學生學習數學的經歷和轉變。
這是第二篇閱讀筆記，該章主要探討了數學教學課堂應該以哪種方式去開展，是傳統的老師講課模式，學生認真做筆記，還是開放式的自由討論，以問題為導向的探索方式？作者從多個層面進行分析和剖析，並提倡數學的學習應以“探索、討論交流”的方式開展。
1.傳統數學課堂學而不思的問題
傳統的數學教學模式下，老師站在講臺上花費20至30分鐘的時間證明定理及方法，學生則在下邊將老師的板書抄在筆記本上，再通過反覆練習相同的題型來鞏固之前學到的數學方法，學生們被動的去記憶相關數學的方法。
如果一直以這種被動的學習方式展開教學，就會使學生缺少“提出、假設、分析、思考並解答問題”這一連串的實際能力（這些對於鍛鍊學生在生活中處理實際數學問題的能力至關重要）。
他們開始慢慢適應了那種反覆背誦並記憶各種定理概念的模式，而放棄了原本所具有的追尋事物本源的先天特質（以問題為導向）。
被動式數學教育模式，學生們需要記憶數以百計的解題方法，而每當方法變形以新的模式形態時，學生們通常不會靈活變通，手足無措，本質上還是沒有對數學概念理解透徹，被動吸收知識，也間接導致他們在生活中面對數學是產生恐懼感。
只有少數能夠很好駕馭數學的人才知道這樣一個訣竅：在數學學習中，真正需要去記憶的東西其實很少，大多數的數學問題都可以通過對數學概念的理解並結合主觀能動性的推理來得以解答。
數學本應該是一門結合了“設問、思考、論證”這三個重要環節的學科，然而它卻給學生們留下了只需記憶而不需要任何思考的印象，造成學而不思的問題。
2.學生們缺乏相互交流的學習模式
消極的教學方式另一個問題就是沉默式的教學，學生們保持安靜聽講，課堂表面上是氣氛極佳的學習環境，事實上產生的教學效果截然相反。
愛爾蘭青年數學家Sarah Flannery女士，因其在改進編碼領域數學算法方面做出的卓越貢獻而獲得了歐洲青年數學家年度獎項。
Flannery在自傳中寫道：“我在學習數學時，意識到兩種數學思考方法存在著極為不同之處：一種方法是聽別人講解數學，然後再自我審視是否已將知識完全掌握了；另一種是自己發揮主觀能動性去學習有關知識後，再通過向別人講述自己的見解來加深對知識的認知水平。”
學生們把黑板上的數學公式及定理抄在筆記上，而且在反覆地記憶後，往往會產生已經把有關知識徹底掌握的假象。我們對某種知識停留在表層上的印象，與將知識切實理解透徹，並且不論何時何地面對任何情況都能熟練運用的境界完全是兩碼事。
DIKW模型：數據->信息-->知識-->智慧
3.推理和論證是學習數學不可或缺的方法
推理和論證都是學習數學時不可或缺的重要方法，如果缺少了在學習過程中與他人的相互討論和交流，那麼將很難把這兩種方法完全掌握學生們不僅要做到和老師們多溝通，更重要的是要在課堂上和自己的同伴們多交流，去表達自己的數學思想。
要想判斷學生們到底是對所學知識留有表層印象還是已經將其理解透徹，往往需要考察他們處理實際問題的能力。
在解答題目時，學生們都應該仔細思考最終結果的合理性問題，這裡的判斷依據應該以客觀的數學定理和準則為基礎，而不是去參考教材或是老師的觀點。
4.課堂積極討論能夠增加知識的理解
在課堂上開展數學討論是幫助學生們加深對知識理解的一種良好形式。當學生們向自己的同學展示和講述自己的工作成果時，他們同樣也可以從同伴那裡收穫觀點和想法。
實質上，在討論的過程中，聽同齡人來分享對數學相關知識點的理解，要比只聽取老師一個人講解的效果高出許多。
在課堂上討論，可以使學生們對自己工作成果的理解更加深入透徹，還可以幫助他人拓寬解題思路。當我們想把自己的數學思想用語言表達出來時，我們需要在大腦中對這些思想進行語言的組織，而其他學生作為聽眾對我們的觀點做出反應時，就需要在大腦中將接收的語言轉換為相關的思想概念。
好的數學老師需要組織起有效的討論形式，並適當地在集體討論和獨立思考這兩個教學環節分配時間，即討論和講課相輔相成的方式進行，避免單一宣講式的學習模式。
5.理論知識與實際生活相背離
由於數學本身的抽象性，我們的數學理論知識在教材體現出和生活嚴重脫節，導致大部分人認為數學僅僅是公理定式，是為了解題考試而準備的，更不可能把它當成一種思維的表達工具和解決問題的思維模型。
比如下圖的一些數學題目，就是一些無厘頭的存在，這些題目的條件又常常違背生活常識，如果孩子們試著生活常識去解題，必然會得到錯誤的答案。
在現實生活中，兩個人合作時的工作效率與各自獨立時的工作效率有著顯著不同；商店在售賣蛋糕之類的食品時是以價格而非數量作為基準的，另外在朋友聚會時通常會準備很多份比薩餅或者並不是參加聚會的每一個人都喜歡吃比薩餅，但是所有這些生活中的常識在數學世界中都不相同了。
長時間的教學歷史經驗表明，這種以現實生活為背景的數學題創造了另外一種虛擬的世界觀，這又與現實世界的生活常識嚴重不符合導致學習數學興趣的下降。
另外這類題目讓人誤解要忽略題目所設置的現實背景，只分析題目中所設置的數字邏輯關係，造成會做題目卻不知道為什麼要去做這道題目，變成數字的演算。
6.什麼樣的是好的數學題目
好的數學老師會向學生提供很多具有鍛鍊價值的數學問題，引導並激發學生對於數學的學習興趣，給予他們充分的機會與空間來挑戰這些數學問題，而不僅僅是照本宣科去講解那些程式化的方法。
開放式可以讓孩子自由探索、與生活相關、又不違背生活常識的問題，能夠激發孩子的思維推導過程，而不是注重答案本身，就是好的題目。
比如“如何運用數學方法估算人口增長”，這樣的題目看似簡單，但實質上涉及多方面數學能力的考察：學生們為完成此題目可能需要查找報紙上關於美國人口數量的統計數據；調查近幾年以來國內人人口的增長數量；設定人口增長速度變化率；建立線性方程模型（諸如y=mx+b）；綜合運用數學建模對未來人口增長進行預測。
像這類的數學問題就可以激發學生們的學習興趣，挖掘他們自身的潛能，給予他們用數學工具去解答實際問題的重要機會，當然這種基於現實生活背景的題目還能用可視化圖形的方式來呈現。
比如國際象棋的棋盤問題8*8的盤面，有多少個正方形，這類問題的特點是，題目本身不但具有實際意義，並且還蘊含著深刻的數學原理。像這樣的問題都與現實生活背景相聯繫，又不違背現實世界的世界觀。因而學生們不會產生違和感，更便於他們在現實世界與數學世界間轉換思維。
思考：8*8的國際象棋棋盤，有多少個正方向？（遠不止64個）
7.警惕可以聯繫生活的數學題目
隨著認識的加強，改良版的數學教材也意識到需要將數學知識貼近生活的重要性，但也要警惕一些刻意的題目，雖然題目本身的條件和背景符合數學概念，但是和現實不符，往往給人沒有足夠生活常識的生活題目。
比如：在使用割草機時甚至還需要計算拉桿與地面的斜率；用壁紙裝飾牆面時需要計算每平方米壁紙的使用情況。
如果是動手能力強的孩子們看到這些題目，他們肯定會覺得乏味而且無聊……這種試題對我學習的影響就是使我嚴重喪失了對數學的信心，並使我意識到無論在哪所學校的哪個數學課堂上，數學的世界對於學生們來說都是一個樣的。
學校要重視對學生多元化數學思想的培養，這樣才有助於學生們應用所學知識去解決實際問題。我們需要在學校和家庭中採取一些積極的教育手段來培養孩子們這方面的能力。
8.總結
學習高效的方式之一就是把自己學習的知識，通過內部消化再把知識專題分享給其他人，經過自己大腦再次處理並且表達出來會使得我們對某一個概念更加具體的印象。
數學的學習方式亦如此，通過闡述表達自己的解題思路和對數學概念的理解，通過討論也能夠獲取其他同齡人的解題方法，會促使知識更加多面化，消除被動接收知識的弊端。
以後給小孩設置生活化數學和邏輯題目時，儘量讓題目更加開放化，注重孩子探索解題過程中的思維鍛鍊，逐步探索出正確答案的過程。比如國際象棋有多少正方形時，可以從小正方向到大正方向的思考，逐步讓孩子發現更多不一樣大小正方向，然後通過分類的方式尋找正確答案。
smartlinking，專注幼兒邏輯和數學教育！
