《这才是数学》是斯坦福大学教授 乔.博勒的作品，作者常年在美国和英国的数学课堂调研，纵向数年时间去观察跟踪几千个学生学习数学的经历和转变。
这是第二篇阅读笔记，该章主要探讨了数学教学课堂应该以哪种方式去开展，是传统的老师讲课模式，学生认真做笔记，还是开放式的自由讨论，以问题为导向的探索方式？作者从多个层面进行分析和剖析，并提倡数学的学习应以“探索、讨论交流”的方式开展。
1.传统数学课堂学而不思的问题
传统的数学教学模式下，老师站在讲台上花费20至30分钟的时间证明定理及方法，学生则在下边将老师的板书抄在笔记本上，再通过反复练习相同的题型来巩固之前学到的数学方法，学生们被动的去记忆相关数学的方法。
如果一直以这种被动的学习方式展开教学，就会使学生缺少“提出、假设、分析、思考并解答问题”这一连串的实际能力（这些对于锻炼学生在生活中处理实际数学问题的能力至关重要）。
他们开始慢慢适应了那种反复背诵并记忆各种定理概念的模式，而放弃了原本所具有的追寻事物本源的先天特质（以问题为导向）。
被动式数学教育模式，学生们需要记忆数以百计的解题方法，而每当方法变形以新的模式形态时，学生们通常不会灵活变通，手足无措，本质上还是没有对数学概念理解透彻，被动吸收知识，也间接导致他们在生活中面对数学是产生恐惧感。
只有少数能够很好驾驭数学的人才知道这样一个诀窍：在数学学习中，真正需要去记忆的东西其实很少，大多数的数学问题都可以通过对数学概念的理解并结合主观能动性的推理来得以解答。
数学本应该是一门结合了“设问、思考、论证”这三个重要环节的学科，然而它却给学生们留下了只需记忆而不需要任何思考的印象，造成学而不思的问题。
2.学生们缺乏相互交流的学习模式
消极的教学方式另一个问题就是沉默式的教学，学生们保持安静听讲，课堂表面上是气氛极佳的学习环境，事实上产生的教学效果截然相反。
爱尔兰青年数学家Sarah Flannery女士，因其在改进编码领域数学算法方面做出的卓越贡献而获得了欧洲青年数学家年度奖项。
Flannery在自传中写道：“我在学习数学时，意识到两种数学思考方法存在着极为不同之处：一种方法是听别人讲解数学，然后再自我审视是否已将知识完全掌握了；另一种是自己发挥主观能动性去学习有关知识后，再通过向别人讲述自己的见解来加深对知识的认知水平。”
学生们把黑板上的数学公式及定理抄在笔记上，而且在反复地记忆后，往往会产生已经把有关知识彻底掌握的假象。我们对某种知识停留在表层上的印象，与将知识切实理解透彻，并且不论何时何地面对任何情况都能熟练运用的境界完全是两码事。
DIKW模型：数据->信息-->知识-->智慧
3.推理和论证是学习数学不可或缺的方法
推理和论证都是学习数学时不可或缺的重要方法，如果缺少了在学习过程中与他人的相互讨论和交流，那么将很难把这两种方法完全掌握学生们不仅要做到和老师们多沟通，更重要的是要在课堂上和自己的同伴们多交流，去表达自己的数学思想。
要想判断学生们到底是对所学知识留有表层印象还是已经将其理解透彻，往往需要考察他们处理实际问题的能力。
在解答题目时，学生们都应该仔细思考最终结果的合理性问题，这里的判断依据应该以客观的数学定理和准则为基础，而不是去参考教材或是老师的观点。
4.课堂积极讨论能够增加知识的理解
在课堂上开展数学讨论是帮助学生们加深对知识理解的一种良好形式。当学生们向自己的同学展示和讲述自己的工作成果时，他们同样也可以从同伴那里收获观点和想法。
实质上，在讨论的过程中，听同龄人来分享对数学相关知识点的理解，要比只听取老师一个人讲解的效果高出许多。
在课堂上讨论，可以使学生们对自己工作成果的理解更加深入透彻，还可以帮助他人拓宽解题思路。当我们想把自己的数学思想用语言表达出来时，我们需要在大脑中对这些思想进行语言的组织，而其他学生作为听众对我们的观点做出反应时，就需要在大脑中将接收的语言转换为相关的思想概念。
好的数学老师需要组织起有效的讨论形式，并适当地在集体讨论和独立思考这两个教学环节分配时间，即讨论和讲课相辅相成的方式进行，避免单一宣讲式的学习模式。
5.理论知识与实际生活相背离
由于数学本身的抽象性，我们的数学理论知识在教材体现出和生活严重脱节，导致大部分人认为数学仅仅是公理定式，是为了解题考试而准备的，更不可能把它当成一种思维的表达工具和解决问题的思维模型。
比如下图的一些数学题目，就是一些无厘头的存在，这些题目的条件又常常违背生活常识，如果孩子们试着生活常识去解题，必然会得到错误的答案。
在现实生活中，两个人合作时的工作效率与各自独立时的工作效率有着显著不同；商店在售卖蛋糕之类的食品时是以价格而非数量作为基准的，另外在朋友聚会时通常会准备很多份比萨饼或者并不是参加聚会的每一个人都喜欢吃比萨饼，但是所有这些生活中的常识在数学世界中都不相同了。
长时间的教学历史经验表明，这种以现实生活为背景的数学题创造了另外一种虚拟的世界观，这又与现实世界的生活常识严重不符合导致学习数学兴趣的下降。
另外这类题目让人误解要忽略题目所设置的现实背景，只分析题目中所设置的数字逻辑关系，造成会做题目却不知道为什么要去做这道题目，变成数字的演算。
6.什么样的是好的数学题目
好的数学老师会向学生提供很多具有锻炼价值的数学问题，引导并激发学生对于数学的学习兴趣，给予他们充分的机会与空间来挑战这些数学问题，而不仅仅是照本宣科去讲解那些程式化的方法。
开放式可以让孩子自由探索、与生活相关、又不违背生活常识的问题，能够激发孩子的思维推导过程，而不是注重答案本身，就是好的题目。
比如“如何运用数学方法估算人口增长”，这样的题目看似简单，但实质上涉及多方面数学能力的考察：学生们为完成此题目可能需要查找报纸上关于美国人口数量的统计数据；调查近几年以来国内人人口的增长数量；设定人口增长速度变化率；建立线性方程模型（诸如y=mx+b）；综合运用数学建模对未来人口增长进行预测。
像这类的数学问题就可以激发学生们的学习兴趣，挖掘他们自身的潜能，给予他们用数学工具去解答实际问题的重要机会，当然这种基于现实生活背景的题目还能用可视化图形的方式来呈现。
比如国际象棋的棋盘问题8*8的盘面，有多少个正方形，这类问题的特点是，题目本身不但具有实际意义，并且还蕴含着深刻的数学原理。像这样的问题都与现实生活背景相联系，又不违背现实世界的世界观。因而学生们不会产生违和感，更便于他们在现实世界与数学世界间转换思维。
思考：8*8的国际象棋棋盘，有多少个正方向？（远不止64个）
7.警惕可以联系生活的数学题目
随着认识的加强，改良版的数学教材也意识到需要将数学知识贴近生活的重要性，但也要警惕一些刻意的题目，虽然题目本身的条件和背景符合数学概念，但是和现实不符，往往给人没有足够生活常识的生活题目。
比如：在使用割草机时甚至还需要计算拉杆与地面的斜率；用壁纸装饰墙面时需要计算每平方米壁纸的使用情况。
如果是动手能力强的孩子们看到这些题目，他们肯定会觉得乏味而且无聊……这种试题对我学习的影响就是使我严重丧失了对数学的信心，并使我意识到无论在哪所学校的哪个数学课堂上，数学的世界对于学生们来说都是一个样的。
学校要重视对学生多元化数学思想的培养，这样才有助于学生们应用所学知识去解决实际问题。我们需要在学校和家庭中采取一些积极的教育手段来培养孩子们这方面的能力。
8.总结
学习高效的方式之一就是把自己学习的知识，通过内部消化再把知识专题分享给其他人，经过自己大脑再次处理并且表达出来会使得我们对某一个概念更加具体的印象。
数学的学习方式亦如此，通过阐述表达自己的解题思路和对数学概念的理解，通过讨论也能够获取其他同龄人的解题方法，会促使知识更加多面化，消除被动接收知识的弊端。
以后给小孩设置生活化数学和逻辑题目时，尽量让题目更加开放化，注重孩子探索解题过程中的思维锻炼，逐步探索出正确答案的过程。比如国际象棋有多少正方形时，可以从小正方向到大正方向的思考，逐步让孩子发现更多不一样大小正方向，然后通过分类的方式寻找正确答案。
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