“無可奈何花落去,似曾相識燕歸來”，初識“無理數”是在初二的時候，有困惑、有不解。
那種無限不循環的小數為什麼會叫“無理數”呢？大家都是數，憑什麼這個無理，那個就有理？這種困惑終究沒有被解開，隨著時間的推移，漸漸的接受了這個詞，“無限不循環小數”很自然的等價於“無理數”，但是這顆好奇心始終在心底吶喊，在我發現了真相的時候，感覺也許是曾經的一個玩笑，而這個玩笑卻開到了今天。
“無理數”從發現到被證明存在，一波三折，今天我們一起來看看“無理數”的奮鬥史，也許無理數本身並不是“無理”，而無理數這個名字才更加“無理”。
萬物皆數
故事從古希臘開始，大約是公元前580年的意大利半島，產生了一個以畢達哥拉斯為首的宗教社團--畢達哥拉斯兄弟會，而我們的畢大俠理所應當穩坐幫主的位置。“兄弟會”成員是一群高智商的知識分子，他們認為“數”可以解釋世上的一切現象，更確切的說應該是“整數”，“整數”是現實的秘密法則。畢幫主說：“整數中，1是萬物之本源，2是第一個偶數，所以2代表女人，3是第一個奇數，所以3代表男人，而2+3=5，所以5代表婚姻，……”類似的方式幫主都能用整數解釋，眾幫會成員對此也深信不疑！
和諧的比例
畢幫主不僅數學能力強，對音樂也是頗有研究，有一天，當他經過一個鐵匠鋪的時候，聽到了鐵匠鋪中傳來的叮叮噹噹的聲音，時而鏗鏘有力，時而節奏鮮明，時而沉悶無聊。幫主被聲音所吸引，不由自主地走進鐵匠鋪。（畢幫主一定是沒去過我們北方的澡堂子，那噼裡啪啦的敲背聲比鐵匠鋪的悅耳多了！）鐵匠鋪中，在一根燒紅的鐵杵兩旁，站著鐵匠鋪的兩位主人——張大錘和張小錘，大錘拿大錘，小錘拿小錘，對著鐵杵有節奏地敲打，此時張大錘面露喜色，因為他看見衣著華麗的畢幫主，知道這定是個“不差錢”的主，大買賣來了！然而大錘錯了。此時畢幫主腦中勾畫的是另一番場景！
次日清晨，幫主讓幫會小弟們置辦了一套鐵匠鋪簡配裝備，在幫會總部過上了打鐵的生活。小弟們很迷茫啊，難倒幫會要轉型？莫非下一個高薪職業是鐵匠？有幾個耿直的知識分子都想另投師門了。小弟們也錯了，轉眼到了每週例會的時間，幫主在今天的會上帶來了最新的研究成果：經過幾天的打鐵研究發現，鐵錘的重量越大，聲音就高；鐵錘的重量越小，聲音就低。當重量形成1:2比例的時候，兩個錘子發出八度音程，當重量是2:3比例的時候就是五度音程，當重量是3:4比例的時候就是四度音程。話音剛落，會場裡掌聲雷動！畢幫主大聲宣佈：“和諧就是比例（ratio）”。掌聲再次響起！隨後，比例體系日趨完善，“比例”二字也是畢達哥拉斯吸粉無數的重要工具。畢幫主聲名遠播，名人政客紛紛邀約，幫主也表示很無奈。
音樂八度比例圖
畢達哥拉斯定理
在一次的名流聚會上，各行各業的大咖紛紛到場，也許是廚子生病了，大餐遲遲未上桌，大家也都是飢腸轆轆。畢幫主卻被腳下排列整齊的方磚吸引了，在“萬物皆數”的信條指示下，畢幫主在尋找方磚和“數”的關係。他拿出畫筆，以方磚為對角線，作了一個正方形，發現新的正方形的面積正好等於兩個方磚。哇，好神奇！接下來又拿兩個方磚組成的矩形的對角線，再作正方形，發現新的正方形的面積等於五塊方磚。哇，真的好神奇！一個大膽的猜想瞬間崩出：“直角三角形，斜邊的平方等於另兩邊平方之和。”畢幫主隨後對其給出了嚴謹的證明！並且自己也理所應當的充當了該定理的代言人。
“畢達哥拉斯定理”的橫空出世，讓畢幫主的江湖地位日益顯著，各路英雄好漢慕名前來，紛紛成為兄弟會的成員！其中有一位來自小亞細亞西南海岸米粒都的帥哥順利的成為了畢幫主的得意門生，他叫“希帕索斯”。小希也非常爭氣，認真完成老師佈置的作業並且經常自己買練習冊刷題，年年獲得“三好學生”的稱號！
命運像個頑童，總是在你不經意間給你開個小玩笑。
小希深得畢幫主的真傳，秘籍一，萬物皆數，用整數或者整數的比可以表示世間一切的事物；秘籍二，畢達哥拉斯定理，直角三角形的三邊的關係。這兩套秘籍每個單獨拿出來，都可以獨霸江湖，但當這兩套秘籍放在一起的時候，問題出現了。
邊長是1的正方形的對角線長度如何表示成兩個整數的比？（現在我們知道是√2，當時還沒有根號的概念！）
相傳小希不僅提出了這個問題，並且給出了一個證明，用嚴密的邏輯說明了世界上沒有兩個數的比能表示這個長度。當這個問題擺在畢幫主的面前的時候，小希從幫主睜大的瞳孔中察覺到了一絲寒意，幫主掩蓋住自己的情緒，慈祥的對小希說：“這個問題問的很好，我要思考思考。”心中便吟詩一首：
小希小希了不起，
I can’t 找到整數比，
一想起你就生氣，
丟進大海去餵魚！”
無理數的由來的第一個版本
在小希幫海洋魚群解決溫飽問題之後，數學界並沒有平靜下來，後人把這件事稱為“第一次數學危機”，為了紀念小希，認為他是第一個發現無理數的人。對於畢幫主一派，簡直是無理取鬧，把一個堅持真理的人丟進大海，所以把這樣的數稱之為“無理數”。
這也是我的老師給我講的故事，之後想想還是有點不對勁。這件事小希是佔理的啊，他才是有理的一方，那麼他發現的數應該叫“有理數”，而畢幫主為代表的一派確實不佔理，那麼他們擁護的數應該叫“無理數”。數學上的名詞不會這麼草率的用情感去定義吧？這其實只是後人解讀時開了一個玩笑！事實上，關於“無理數”的命名還有另外一個版本。
無理數的第二個版本
由於畢幫主兄弟會成員相信任何事物都可以表示成兩個整數的比，整個世界都是和諧成比例的，但是希帕索斯的發現讓幫會成員陷入的了不可比的恐慌。然而事實就是事實，在小希同學沉入海底之後，兄弟會公佈了最新研究成果，說明了√2不可比的事實。根據亞里士多德的記載，兄弟會用的是反證法，（也有人說，這正是希帕索斯的證法）證明如下：
假設√2是有理數，那麼√2可以表示為兩個整數的比，記√2=a/b，（且a與b互素），
兩邊平方後得：2b²=a²，顯然a²是偶數，則a是偶數，設a=2m，
代入後又得：2b²=a²=4m²，則b²=2m²，則b²是偶數，則b是偶數。
這與a與b互素的假設相矛盾。那麼√2不是有理數。
這與今天的證明是一致的！
由於當時還沒有“有理數”的概念。只有原來的ratio（比例），所以把“有理數”叫成“可比數”更加穩妥，而“無理數”應該被叫成“不可比數”或者“無比數”。
今天我們看rational（有理數）和irrational（無理數）兩個詞，顯然是ratio（比例）的升級版，從希臘文的詞根中演變而來，其本意是可比與不可比的區別。如果當年要是把“無理數”叫成“無比數”我感覺會更加合理一些！也許在流傳的過程中，某些詞根的翻譯不當，歷史開了個玩笑，這個玩笑一直開到了今天！
經典幾何高峰期
像√2這種數是不可比的，也就是無法用現存的數去解釋它的大小，而很顯然的是用線段可以表示其長度。這使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數。在此後的幾千年間，幾何學成為嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位。同時，經典幾何學達到了前所未有的高峰！
我們可以看出，數學家一直在迴避“無理數”這個怪物！實際上並沒有給無理數提供可靠的算術理論基礎，遇到“無理數”的問題，西方數學家都必須用幾何來嚴格處理。“無理數”的問題就此擱置，到底是誰能打破這種沉寂？
數學大牛們的超級秀
中世紀過後，歐洲數學逐漸復甦。東方數學逐漸傳播到西方，由於東方的數學尤其以算術方面見長，受東方數學影響，在歐洲，算術和代數的發展首先取得了突出成就。到 16、17世紀，歐洲人對無理數的使用已經越來越廣泛了，但無理數究竟是不是真正的數卻產生了重大分歧。
觀點一：無理數不是真正的數。因為在用十進小數的記號表示無理數的問題時，認為無理數不能被準確掌握，因而不是真正的數。支持這個觀點的有斯蒂弗爾，帕斯卡和牛頓等人。
觀點二：無理數是獨立存在的數。荷蘭數學家史蒂文承認無理數是數，並用有理數來逼進
它們。笛卡兒也承認無理數是能夠代表連續量的抽象的數。無論哪種觀點，它都只是觀點，數學家們都沒有弄清楚無理數的概念。
笛卡爾
當時間軸被撥到19世紀的時候，無理數理論才開始真正建立。數學家哈密頓19世紀30年代發表 《代數學作為純時間的科學》，文中用時間的概念去解釋數，他把有理數和無理數的全體放在一起，就好像流逝的時間一樣。他還提出用劃分有理數的方法來定義無理數，遺憾的是最終沒能完成。
1869年法國數學家梅雷在有理數的基礎上給出了無理數的一個定義，這個定義與康托爾所給的定義相同。無理數一種定義方式的核心是“分割”的概念。一個分割把所有的有理數分成兩類，使得第一類中的每一個數都小於第二類中的每一個數。例如，把所有平方小於2的有理數放在第一類，其它放在第二類，這個分割就不是由有理數確定的。從而每一個這樣的分割對應於唯一的一個無理數。另外一種定義方式是由史托爾茨在《一般算術教程》中證明了每一個無理數可以表達成無限不循環小數。這也是我們今天所熟知的無理數定義。
至此，在古希臘時期就被發現的無理數終於有了嚴格的定義。“第一次數學危機”就此解除！我們不難看出，無理數的邏輯定義是有些不自然的。利用邏輯而定義出來的無理數是一個智慧的怪物，所以長期以來數學家們覺得無理數難以掌握，這是其真正的本質原因。事實上，直到19世紀，一些保守的數學家仍然不接受這樣的無理數理論。
但無論怎麼樣，嚴格的無理數理論的建立是現代分析學和幾何學發展的基礎，是數學發展史上一次重大的進步。
最後，讓我們再次把掌聲送給我們的英雄--“希帕索斯”。
[1] [ 美] M.克萊因。古今數學思想[ M] 上海:上海科學 技術出版社, 1979.
[2] 李文林數學珍寶[ M] 北京:科學出版社, 1998.
[3] 胡作玄.近代數學史[ M] 濟南:山東教育出版社, 2006.
