前言
上篇文章里，从如今一些流行歌曲中的五声音阶，聊到了中国古代人民用来制造五声音阶的三分损益法，又聊到了三分损益法背后所包含着的巧妙的数学及物理学理论。
总之，回顾这样一段中国音乐发展历史，不得不发自内心赞叹古人的聪明与智慧。
但是文章最后，仍然留下了一个伏笔，就是在十二平均律之前，所谓的各种音乐律制，其本质上都是不平均律。
而不平均律从生成音的方式上来说，就注定了由它们所产生的音阶，无法周而复始、循环往复，这也为人们音乐上的创作和演奏带来了很多无法解决的困扰。这样的音乐难题，持续了两千多年。
一直到十二平均律的出现。
毫不夸张的说，十二平均律是中国、乃至世界音乐史上一个划时代的发现。它彻底打破了传统乐律对于人们音乐创作和演奏的限制，为近现代的一系列音乐理论开拓了极其宽阔的道路。
它的影响，体现在我们日常生活中的方方面面：
比如你在唱歌时，是不是经常会因为歌曲的调太高或太低而跟不上调，所以得人为的进行升调、降调来方便自己演唱。
如果没有十二平均律，我们在唱歌时的自由转调将会难以实现。
再比如说，我们都知道钢琴是西方人发明的。
但是，如果说西方人给予钢琴以躯体，那么为钢琴铸就灵魂的，实际上却是我们中国人。
没有十二平均律，就没有现在的钢琴，甚至一系列键盘乐器都将无从发展。
而这一切，都得归功于十二平均律和他的发明者朱载堉。
回望朱载堉与十二平均律背后的故事，不仅仅是了解音乐与科学、感受历史，也能从中窥见些许时代的缩影。
01 十二平均律的简单解释
在较为深入地认识朱载堉与十二平均律之前，不妨先了解一下十二平均律在我们的日常生活中，最为通俗易懂的解释。
可能有人说，我没学过音乐、看到乐理就头大...诸如此类。
但如果仅仅是从表面上来认识十二平均律，其实并没有那么难以理解。
上篇文章里说到了C（do）、D（re）、E（mi）、F（fa）、G（sol）、A（la）、B（xi）这七个音，称为基本音级。对应于基本音级，又有变化音级这一说法：将基本音级升高或降低得到的音就是变化音级。
我们将某个音升高或降低半音，用升降记号#和b表示。比如#C（do）代表将C升高半音，bC代表将C降低半音，#C（do）的位置就是钢琴键盘C（do）音右上方的黑键。
而十二平均律，是将一个八度完美地分成了十二个部分，在这其中产生了十二种音，每相邻两个音之间都相距半音关系。
因此半音也是十二平均律中音与音之间，相隔最小的距离，相距两个半音又称做相距一个全音。
这些由十二平均律划分出的十二种音，就是C→#C→D→#D→E→F→#F→G→#G→A→#A→B。
将最后一个B（xi）音升高半音后，又可以得到更高的C（do）音，如此循环、无穷无尽。
细心点还会发现，类似于#C和bD这样的一对音，其实是完全相同的音，只是表达方式不同。
十二平均律音阶，就像时钟一样循环往复
我们可以看出，在七个基本音级中，只有E到F、B到C是半音关系，其余相邻的基本音级都是全音关系。
所以我们将C、D、E、F、G、A、B、C之间的全半音关系，形象的记忆为“全、全、半、全、全、全、半”。
钢琴的键盘，正是对这一理论所做出的最为简单形象的诠释：在钢琴的88个键上，包括黑键在内的任何两个相邻的琴键，都是相隔半音的关系。
这也是为什么说中国人所发明的十二平均律，为钢琴这一件乐器赋予了真正的灵魂。
钢琴键盘与十二平均律
02 2的12分之1次方：十二平均律背后的数学奇迹
朱载堉
朱载堉，是明太祖朱元璋的九世孙，出生于公元1536年，也就是明朝嘉靖十五年。
他的父亲郑恭王朱厚烷，是明仁宗五世孙，在数学和音乐上颇有研究造诣。朱载堉也因此而耳濡目染，从小就在这些方面表现出异于常人的天赋。
对于普通人来说，生在这样一个名门望族之中，不知道是几辈子才能修来的福分。但对于朱载堉来说，这样的身份，却更像是他一生的羁绊。
明朝晚期的朝廷，皇室内哄不断。
他的父亲朱厚烷本清正廉洁，但却遭人诬陷，被削去爵位，含冤入狱。
此时的朱载堉不过十五岁，就遭遇了这样一个人生中的重大变故。
在《明史·郑王瞻埈列传》中，如此记载：
“世子载堉，笃学有至性，痛父非罪见系，筑土室宫门外，席藁独处者十九年。厚烷还邸，始入宫。”
年仅15岁的朱载堉，想为父伸冤却力不能及，于是愤然离宫，在皇宫外造了一间土屋。
他独处其中，专心研究音乐、数学、天文学等学问，一呆就是十九年。
在明世宗死后，隆庆皇帝继位，其父终于被赦免，朱载堉也被恢复了皇室的身份。
此时的朱载堉已过而立之年，按理说他可以接任他父亲，成为新一代的郑王。
但他接连七次上疏，把自己的王位让给了家族中的其他人。
脱下这顶帽子，皇室朝廷里的明争暗斗、腥风血雨，便再也与己无关。
朱载堉抛下了这个无时无刻不在羁绊着自己的皇权贵族的身份，继续投身于自己的著书立说之中。
别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。
1584年，朱载堉在他的《律学新说》中提出了“十二平均律”这一概念，并详细说明了该律制的计算方法，宣告着这一划时代音乐理论的正式诞生。
在上篇文章的三分损益律中，我们知道了古代的人们是如何在频率为F到2F之间的各音中，找到了构成音乐的五声音阶、七声音阶等等。
但这样找出来的各音排列而成的音阶，由于音的前后频率比值不尽相同，所以无法做到循环往复。
让音阶中的每后一个音与前一个音的频率总是保持一个固定比值，即后一个音与前一个音之间总是隔着相同的“距离”，正是人们苦苦探索而求之无果的难题。
但朱载堉的十二平均律做到了。
之前说过，频率从F到2F的音，恰好是一个八度。如果设音阶初始音的频率为F，那么与其对应的比其高一个八度的音的频率则为2F。
如何让一个八度内的十二个音中，其前后每个音的频率比值都保持恒定呢？
朱载堉通过现代数学中等比数列的理论，将一个八度完美分成了十二部分，成功地实现了这一构想。
我们设音阶中每后一个音与前一个音之间的频率比值都为x，由数学知识，我们可以知道F·x·x·x···x=2F，这其中一共乘了12次x，计算可得x=2^(1/12)，即x就是2开12次方后的结果。
2^(1/12)，用现在的话来说叫做等比数列的公比，朱载堉称之为十二平均律的“密率”。
有了这样一个密率，我们将初始频率F乘上x的一次方、平方、立方...一直到x的十二次方，就能得到十二律中任何一律所对应的声音频率。
这样一个等比数列，让每后一个音与前一个音频率的比值都为固定的“2的十二分之一次方”。
2000多年间，十二律中音与音的距离从未有过如此完美的平均，“十二平均律”一名因此而生。
问题来了，那时候的数学水平能够计算这样一个复杂的数据吗？
这就不得不说朱载堉在数学理论上所创造的又一个奇迹。
为了计算出精确的数据，他制作了一款81档的特大算盘，进行“开平方”、“开立方”等数学计算，在此中所得到的每个有价值的数据，他都精确计算到了小数点后24位。
比方说，他计算出的十二平均律的密率、等比数列的公比——2的十二分之一次方，记为了：
十寸零五分九厘四毫六丝三忽零九纤四三五九二九五二六四五六一八二五。
用现在的数据表示是：1.059463094359295264561825。
这样一长串数字，不知道有没有让你感到惊讶。
如今普通的计算器，少则能够计算到小数点后七、八位，多的也不过计算到小数点后十几位。更何况朱载堉，是在毫无前人的经验总结与科学理论支撑的情况下，徒手进行如此复杂的开方运算，一算就是24位小数。
这样的数据，在他的书中还有上千个。
不难想象，在这一革命性的音乐理论中，他究竟为此倾注了多少精力与心血。
然而，现实是残酷的。
这样一个伟大的发明创造，在其诞生后的几百年间，都没有得到与之相匹配的地位。
朱载堉的特殊算盘
03 中国人的智慧，成就了西方音乐
时间来到1606年，此时的朱载堉，已经是个七十多岁的老人了。
他将包含了自己一辈子心血的《律学新说》、《律吕精义》等十五本著作，汇编成了一部《乐律全书》进献给明神宗。
然而这样一本堪比《本草纲目》、《天工开物》的历史巨作，却被朝廷束之高阁。
《乐律全书》在被皇帝口头嘉奖、形式上意思了那么一次之后，就被当作藏书收入了图书馆中，再也没人理会。
就如《明史·乐志》中所描述的那样：宣付史馆，以备稽考，未及实行。
“神宗时，郑世子载堉著《律吕精义》、《律学新说》、《乐舞全谱》，共若干卷，具表进献。……。宣付史馆，以备稽考，未及实行。”
在此后的三百多年间，十二平均律一直为人们所冷落和不齿。
人们始终坚持三分损益律这一传统的黄金乐律，并认为十二平均律是一种“异说”。
再之后，清兵入关、明清易代。
康熙皇帝自己一边抄袭剽窃朱载堉倾注毕生心血的理论，将之编入自己的《律吕正义 》中，一边对外歪曲攻击朱载堉的学说。
到了乾隆皇帝继位后，除了自己亲自批判之外，还下圣旨命令朝中各大臣，发起了一场对朱载堉音乐理论的“围剿”。
这个时期中国音乐理论的发展，就像闭关锁国的清朝一样，在自我闭塞中逐渐与西方拉开了巨大的差距。
十二平均律如此凄惨坎坷的命运，甚至对于如今音乐历史的普及都可能造成了一定的影响。
在印象里，我国的音乐类教科书中，几乎很少有提到过朱载堉的名字。在普通的音乐课上，也几乎没有老师会介绍这样一个在音乐贡献上厥功至伟的人物。
但即使是处于如此厚重的阴霾笼罩之下，也挡不住十二平均律里所蕴藏着的耀眼光辉。
那时候的西方，同样正面临着与此前中国相一致的音乐难题。
而朱载堉十二平均律理论的诞生，比西方早了半个多世纪。
16世纪末，西方的传教士将朱载堉的思想经由丝绸之路带回欧洲后，西方世界如获至宝。
在十二平均律的推动下，西方音乐的发展开启了全新的篇章。
人们用十二平均律的原理制作出了第一架具有现代性意义的钢琴，并在该理论之上继续不断尝试着各种新的可能。
在诞生近两个世纪后，十二平均律总算迎来了它在音乐上的实践和应用。
巴洛克时期伟大的德国作曲家、西方近代音乐之父巴赫，将十二平均律真正付诸于乐曲创作之中，以此创造出了其生涯最伟大的键盘作品——《十二平均律曲集》。
这一作品也被誉为是音乐史上的《旧约圣经》，与之相对应的《新约圣经》是贝多芬的三十二首钢琴奏鸣曲。
钢琴大师肖邦称赞它说：《平均律钢琴曲集》是音乐的全部和终结。
这不禁让人联想到中国古代的音乐故事。
伯牙鼓琴，志在高山。钟子期曰：“善哉乎鼓琴，巍巍乎若泰山！”志在流水，钟子期曰：“善哉乎鼓琴，洋洋兮若江河！”
在中国无人赏识、饱受冷落的朱载堉，终在西方世界高山流水得遇知音。
在如今我们欣赏巴赫的这些作品时，仿佛能听到来自16世纪和18世纪的两个光辉灵魂之间，超越时空的碰撞。
“以俟方来具眼之士或有可取焉”，朱载堉在他的《律学新说》中，曾写下了如此期许，希望后辈的有识之士能够早日发现并理解自己的音乐思想。
只是没想这一宝贵的理论，从诞生到应用，一隔就是近两百年。
也没想这些有识之士，竟远在大洋彼岸的欧洲世界。
十二平均律最终还是展现出了它惊人的魅力，只不过，是率先成就了西方音乐。
04 写在最后
就像有些学者评价中说的那样：朱载堉虽然不是西方人，但他同属于欧洲的文艺复兴时期。
他所站立的高峰之上，一面是科学、另一面是艺术。
即使一生中经历了无数坎坷曲折，他仍不屈不挠、 潜心治学。
世态炎凉，却仍独善其身。
就如他在自己的《醒世词》中写的那样：
人事繁华无牵挂，功名富贵不计它；每见世世兴与废，到头来总成空话。
从明朝王子到一介布衣，从少年到白头，凝聚了他毕生勤奋与智慧的十二平均律，就像一颗明亮的恒星，为世人照亮了之后的音乐道路。
而他自己，也得以归于天上的璀璨星辰之中，永远为后人所仰望。
-END-
