散度在高等數學、場論裡面和梯度、旋度一樣,都是一個比較抽象的概念,大部分同學在初次接觸到的時候,都很難準確把握。本文試圖在教材、網絡現有資源的基礎上,提出一種自己的見解。
先看有關散度表達式:
散度的定義一:
散度的定義二:
再看兩條對於散度的解釋:
常用的關於散度的解釋圖。
再看高斯通量定理:
結合上面材料,下面就個人理解,對散度進行如下解釋:按散度解釋一,散度表示場中一點處通量對體積的變化率。那麼,如何理解這句話呢?現在,我們假設,圖一散度中的球體,外面包裹了一塊同樣球形的膜,那麼,這層膜就包圍了這個球體所發出的所有電力線(電通量),我們假設電力線的數目是10000根,而此時這層膜的體積等於1,那麼電通量體密度就是10000;再假設這層膜現在擴大到原來體積的10倍,根據高斯定理公式一,這層膜包圍的電通量不會改變,一直都等於10000,那麼此時電通量體密度就是1000;那麼,這層膜的體積在由1變到10的過程中,電通量體密度就由10000變到了1000,電通量密度隨體積變大10倍而改變的比例是(10000-1000)/10000=90%;再假設這層膜的體積由10變到100,經過同樣分析,電通量密度隨體積變大10倍而改變的比例還是
(1000-100)/1000=90%。
這一結果和我們對於太陽光的感覺是一致的:即太陽光的強弱變化是隨著離開太陽距離的變化所做的一種勻速的,等比例的變化過程。對照圖三,這個公式和前面的分析結果是一致的,也就是說,在帶電球體的外側,散度即電通量體密度的變化率是相同的,而這句話的真正含義就是:電場散度即電場中任一點處通量對體積的變化率是指:這一點電通量體密度的變化,是和該點距離帶電球體的遠近(相對應的那層球形膜的體積)成比例變化的,而這個比例在帶電球體外的任何一點都是固定的,即單位體積內包圍的電力線的根數是和這個體積元與帶電球體的距離成比例增加或減少的。
假設我們面前有一個燈泡,現在我們勻速倒退離開這個燈泡,我們會感覺到,燈泡的亮度是逐漸變暗的,也就是和我們離開的距離成比例變暗的。
有了上面的分析結果,我們再看看上面的散度解釋二:散度可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量。
那麼,這樣的表述是有問題的,至少是不嚴謹的,可以考慮更改為:
散度可理解為通過包圍單位體積閉合面的通量的變化率。再看百度百科對散度有一個描述:散度是描述空氣從周圍匯合到某一處或從某一處流散開來程度的量。水平散度是氣體在單位時間內水平面積的變化率。如果面積增大,散度取正值,為水平輻散;如果面積縮小,散度取負值,為水平輻合。三維空間的散度表示任意氣塊在單位時間內其單位體積的變化率。
其中最後一句的含義和本文分析的結果是相通的。
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