《廣義相對論》(發表於1915年)，阿爾伯特·愛因斯坦的引力理論被許多科學家認為可能是“所有現存物理理論中最美麗的”。
在這篇文章中，我將描述廣義相對論的一個經典測試，最著名的一個是光被太陽彎曲，如圖1所示。
- 圖1：太陽(光源)對光線的彎曲
結果表明，淨偏轉角有一個非常簡單的表達式：
- 方程1：掠過太陽的光子的淨偏轉
其中M為太陽質量，b為影響參數(見圖2)。
- 圖2：影響參數b
光彎曲的一種表現形式被稱為引力透鏡，它目前被天文學家用作一種重要的測量工具(見圖3)。
- 圖3：愛因斯坦十字，我們看到了四張同樣遙遠的類星體的圖片，這是強引力透鏡作用的結果。
史瓦西解及其測地線
史瓦西度規：g是由太陽產生的時空扭曲引起的太陽系度規。它有以下行元素：
- 方程2：史瓦西解的線元，太陽產生的時空曲率畸變引起的太陽系度規。
球座標中使用的座標度量(r，θ，φ)，如圖4所示。
- 圖4：球座標r(徑向距離)，θ(極角)和ϕ(方位角)
由於我們的目標是導出等式。如圖1所示，我們首先需要獲得光子φ（r）軌跡的表達式，其中φ 是方位角，r是半徑座標。讓我們開始計算通過太陽重力場的光子動量分量。
給定時空中沿測地線運動的粒子的守恆量與相應的度量張量g的對稱性之間存在對應關係。由於史瓦西解既具有球對稱性又具有時間平移不變性，所以被測粒子的能量和角動量都是守恆的。這可以從數學上看，把測地線方程改寫成粒子如下：
- 方程3：測地線方程，用動量p和g的導數來表示。有了這個符號，就很容易看出動量守恆和相關時空的對稱性之間的對應關係。
現在，光子在零測地線，這意味著一定參數λ仿射參數不同於適當的時間τ。因為史瓦西度規遵循以下條件
- 方程4：史瓦西度規的兩個常數分量。
方程3為我們提供了下列守恆量
- 方程5：兩個運動常數是由度規張量分量的相應導數消失而得到的。
注意，球形對稱意味著運動發生在平面上，我們可以選擇θ=π/ 2(這意味著dθ/ dλ= 0)。
光子
由於我們的目標是專門研究光線的彎曲，從現在開始，只考慮光子的運動(本文將討論大量的粒子)。
方程5中的兩個運動常數分別是能量和角動量：
- 方程6：運動E和L的兩個常數分別是能量和角動量。
負號是牛頓能量概念在低速狀態下恢復所需要的。
光子動量p的三個相關分量的顯式表達式很容易用度規的史瓦西分量和公式6計算出來：
- 方程7：光子動量分量的顯式表達式。
現在我們把這三個分量代入|p|²=m²=0 並求解(dr/dλ)^2得到：
- 方程8：光子的軌道方程的仿射參數λ
我們可以重寫這個方程，定義一個“有效勢”，由：
- 方程9:光子的“有效勢”。
有效電勢如圖5所示。圖中顯示了重要的元素，如轉折點（dr/dλ =0），禁止區域（ E V）和圓形軌道（dV²/dr=0）。
- 圖5：光子的有效勢
光的引力彎曲
回想一下，我們這裡的目標是獲得穿過太陽重力場的光子的
φ（r）。只需將動量的φ分量（角動量）除以等式的平方根即可輕鬆實現。
- 方程10：光子的軌道微分方程φ(r)
正如我們在介紹中定義的，參數b是影響參數。在牛頓力學中，很明顯，b是徑向距離r的最小值(無偏轉時)。因此，與沿徑向運動的平行軌跡相比，b是光子軌跡的“偏移量”。
與牛頓的情況一樣，在數學上使用新變量u≡1/r是方便的。則式10為：
- 方程11：光子在新變量u下的軌道
現在我們考慮M/r< 1或者u< 1/M的極限。事後我們定義了以下輔助變量y：
- 方程12：新變量y的定義
最後一步是解方程11。我們終於得到：
- 方程13：光子的軌跡方程的解dφ/ dy。
光子的偏轉如下所示：
- 圖6：光子穿過太陽重力場時的軌跡彎曲
快速計算表明，淨撓度確實由式(1)給出：
- 式14：光子經過太陽附近後的淨偏轉，與式(1)相同。
- 圖7:著名的英國天文學家、物理學家和數學家愛丁頓第一次證實了愛因斯坦的預測。
把太陽的質量代入，用太陽的半徑作為影響參數b，我們得到的最大撓度大約等於1.75”。1919年，由著名的英國天文學家、物理學家和數學家亞瑟·愛丁頓領導的英國團隊進行了一次著名的實驗，首次證實了這一結果。
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