解題技巧
知識聚焦
“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關於線對稱”，“線段的平移”。
原型：“將軍飲馬”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、座標軸、拋物線等。
真題例證
1.（四川.內江）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l 2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ =
A，直線l2 上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ =______．
模型練習
1.如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，N為AB上一點，且AN＝2，∠ BAC的平分線交BC於點D，M是AD上的動點，連結BM，MN，則BM+
MN的最小值是=______．
解：
又∵N為AE的中點，
∴M為AD的中點，
∴MN是△ADE的中位線，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝
在直角△CDM中，CD＝
BC＝3，DM＝
，∴CM＝
，
∴CN＝
．
∵BM+MN＝CN，
∴
BM+MN的最小值為2
．
2.如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內，在對角線AC上找到一點P，使PD+PE的和最小，則這個和的最小值是 =______ ．
解：如圖，
解題總結
在平面幾何的動態問題中，求幾何量的最大值或最小值問題常會運用以下知識：
① 三角形的三邊關係：兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；
②兩點之間
線段最短；
③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；
④定圓中的所有弦中，直徑最長；
⑤利用對稱的性質求兩條線段之和最小的問題，解決此類問題的方法為：如圖，要求線段l上的一動點P到點A、B距離和的最小值，先作點A關於直線L的對稱點A′,連接A′B,則A′B與直線L的交點即為P點，根據對稱性可知A′B的長即為PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.
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