古希腊哲学家柏拉图曾言："倘若你曾在生者当中像晨星那样耀辉，那么在死者群像里会似晚星闪烁。"华罗庚说过："数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。"
数形结合的历史源远流长，我国古代数学中，处处可以寻觅到它的印迹。早期作为历史最长计数工具的算筹和算盘，便可以看作是"数形结合"的雏形。我国流传至今的一部最早的数学著作《周髀算经》中就已记载："数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。"在《九章算术》"商功"章节中所叙述的体积之术文，其实就已经孕育着几何代数化方法。
数学是研究数量关系及图形结构的一门学科。在西方，古希腊的毕达哥拉斯学派也曾将"数"与"形"结合起来研究。他们在研究"数"时，就常常把"数"同画在平面上的"点"联系起来，按照"点"的形状将数进行分类，进而结合图形性质推导出数的性质。
1+3+5+…+（2n-1）=？如图，毕达哥拉斯早已利用图形给出了几何解释。
如图2所示，由谢尔宾斯基三角形可以得出：
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方式研究图形问题；另一方面，也运用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想。
例１．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Ｑ,若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）
A.点M B.点N C.点P D.点Ｑ
解析：图中表示绝对值最小的数的点，应是到原点的距离最小的点 。∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在图中O点处。.表示绝对值最小的数的点是点P.故选C.
数轴是联系数与形的工具之一。运用数轴解题的优点主要体现在：运用数轴可直观地表示有理数，形象地解释相反数，准确地比较有理数的大小，恰当地解决与绝对值相关联的问题．
例2．如图，数轴上，点A表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A₁，第2次从点A₁向右移动6个单位长度至点A₂，第3次从点A₂向左移动9个单位长度至点A₃，…，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是______．
【解析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动3n个单位．每左移右移各一次后，点A右移3个单位，故第2018次右移后，点A向右移动3×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019×3个单位，故点A2019表示的数是3×（2018÷2）﹣2019×3+1．
第n次移动3n个单位，第2019次左移2019×3个单位，每左移右移各一次后，点A右移3个单位，所以A2019表示的数是3×（2018÷2）﹣2019×3+1＝﹣3029．故答案为：﹣3029．
变式. 如图，在数轴上，点A表示数1，现将点A沿数轴作如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度到达点A₁，第2次从点A向右移动6个单位长度到达点A₂，第3次从点A向左移动9个单位长度到达点A₃…，按照这种移动规律进行下去，第n次移动到达点A.如果点An,与原点的距离为20，那么n的最小值为_________
解析：有理数都可以用数轴上的点表示，探寻点对应数的变化规律是解题的关键.
序号为奇数的点在点A的左边，A₁，Ａ₃，A５，…，Ａｎ。对应的数分别为一2，-5，-8，….－（3n+1）／２：序号为偶数的点在点A的右边，A２，A４，A６.，Ａｎ。对应的数分别为4，7，10，…，（3n+2）／２；当-（3n+1）／２=20时，得n=３８/３；当（3n+2）／２=20时，n=３8/３（舍去）。故n的最小值为13.
例3．王老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：
如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线AB上的1/4，3/4均变成1/2，1/2变成1等），那么在线段AB上（除A、B）的点中，在第2次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是_____，在第10次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是______．
变式.题目已知与例2相同，确定在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为______．
捕捉问题所蕴含的信息，理解"一次操作"的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点。以油条制作过程为背景，将线段的"等分点、对称、平移"等知识融入其中，有效考查了阅读理解、分析转化、数形结合等思想方法。
例4.某省遭受雪灾，在一段笔直的高速公路上依次停着100辆受阻的汽车，救援部队要设置一个临时食品供应站P，使这100辆汽车到供应站P的距离总和最小，供应站P应设在何处？（写出解答过程）
（2）利用上述问题的解题规律求：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-19|+|x-20|的最小值。（写出解答过程）
解析：从数轴上看|a一b|的意义是表示数a，b对应的两点间的距离。
对于（2），即在数轴上求出表示x的点.使它到表示数1，2，3…，20对应的点的距离最小.
（1）通过对2辆车、3辆车、4辆车试验可以发现：
当车辆数n为偶数时，P应设在第n/2号辆与号n/2 +1辆之间的任何地方，此时，这n辆车到供应站P的距离总和最小；当车辆数n为奇数时，P应设在正中间的第(n+1)/2号辆车处，此时，这n辆车到供应站P的距离总和最小.故当车辆数为100时，P应设在50至51之间的任何地方，
（2）|x-1|+x-2|+|x-3]+…+|x-19|+|x-20|可以看成x所对应的点到1至20这20个点的距离之和，所以当10
9.5+8.5+7.5+…+0.5+0.5+1.5+…+7.5+8.5+9.5=100.
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化。
（1）将a>0与距离互化；
（2）将a²与面积互化；
（3）将a²+b²+ab=a²+b²-2lallblcose（e=60°或=120°）与余弦定理沟通；
（4）将a²b²c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通；
（5）将有序实数对（或复数）和点沟通；
（6）将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应；
（7）遇分式联想斜率、点到直线距离公式、导数定义；
（8）遇根式联想两点间距离公式。
古语云：泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。教师要学会把教学内容中"隐性"的数形结合思想方法"显性"地传递给学生，使学生在潜移默化中日积月累，达到提升高阶思维能力的目的。
数形相依，发展学生的发散思维。在解决问题时，我们可以先从数的方面去分析，进行抽象思维，又从形的方面去研究，进行形象思维，发挥两种思维的优势，从一个目标出发，沿着不同的途径去思考，探求多种答案。数形结合，便于揭示数学问题的数量关系，从而展开发散思维，激发学习兴趣。
数形相构，发展学生的创造思维。创造思维是思维的最高境界。《数学课程标准》的基本理念中明确指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。
数和形是我们认识事物的两个方面，而数学是研究数量关系和空间形式的科学，因此，从数和形的角度认识事物，就是从数学的角度认识事物。"形"构成数学的直观化图形语言，"数"构成数学的抽象化符号语言，各有优势。数学上常常利用两者的优势互补来解决问题，这就是我们熟知的数形结合思想方法。数形结合的实质就是透过数量关系去发现其几何背景，使代数问题几何化，使数量关系变成图形关系；或者根据几何图形特征，通过合适的手段使几何问题代数化，使问题解决算法化。
日本数学家米山国藏说过："作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。"可见，数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。
而数形结合的思想就是数学思想方法中重要一类，它通过数与形之间的对应与转化来解决数学问题，利用它可使复杂问题简单化、具体化、形象化，它兼有数的严谨，并有图的直观化，是优化解题过程的重要途径之一，有助于把握数学问题的本质，"数"与"形"是密切联系的。我们在研究"数"的时候，往往要借助于"形"，在探讨"形"的性质时，又往往离不开"数"。由于使用了数形结合的方法，很多问题会迎刃而解。
