人們總喜歡談論音樂和語言，卻很少有人真正關心過音樂與數學的內在聯繫。儘管音樂中包含大量的數學成分，但除了序列主義等少數音樂流派以外，作曲家們通常不會將自己的創作過程理解為數學運算；而數學家們自然也很少會花心思去研究一部音樂作品。
不過，音樂與數學終究是一個古老的話題，它們之間的關聯並不能被輕易忽視。
偉大的德國數學家萊布尼茨曾經寫道：“音樂是一種不自覺地計數的感覺。”但兩者的關聯遠不止於計數這麼簡單，正如法國巴洛克時期的著名作曲家拉莫所宣稱的那樣：“我必須承認，只有藉助數學，我的思維才變得清晰。”
如果不具備數學式的才能，作曲家也許能哼出一段優美的旋律，但不可能寫出真正意義上的音樂作品。但在許多人看來，音樂創作又完全不同於數學運算。那麼，這兩者的聯繫究竟是怎樣建立起來的？我們應該如何看待音樂與數學之間的內在關聯呢？
畢達哥拉斯的發現
從最顯而易見的層面看，音樂中的節奏和音高無疑是有數學基礎的。比如人們練琴用的節拍器就是典型的數學計數；多倫多大學統計學教授兼業餘演奏家傑弗裡·羅森塔爾直截了當地宣稱：“音樂，連同它所有的激情和情感，也是建立在數學關係的基礎上的”；我們今天廣泛採用的十二平均律，便可以用簡單的數學關係從邏輯上加以解釋和理解。
而這一切，都始於古希臘數學家畢達哥拉斯。
根據流傳下來的故事，畢達哥拉斯有一次在薩摩斯的大街上散步時，突然被鐵匠的敲擊聲所吸引。他停下腳步，注意到鐵匠使用的兩個錘子之間的音調特別和諧。於是，他測量了它們的重量，發現了一件令人吃驚的事實：較重的錘子的重量恰好是較輕的錘子的兩倍。
這給了畢達哥拉斯很大的啟發。為了更進一步理解音調中的比例關係，畢達哥拉斯在琴絃上做了進一步實驗。結果發現，弦長與音高之間同樣成比例關係。當兩根兩根緊繃的弦的長度比例是1比2的時候，它們發出的聲音非常相似，處於最和諧的狀態，也就是後人總結出的八度音程。
古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯
總體而言，琴絃越短，音調就越高。不過，正如蒙特利爾理工學院應用數學博士黎阮晃指出的那樣，長期以來人們對畢達哥拉斯的上述發現存在誤解。實際上，弦長並不是關鍵因素。短的琴絃，本質上是因為振動頻率更高，而擁有了更高的音調。也就是說：頻率越高，才導致了音調越高。
就這樣，畢達哥拉斯從錘子和絃長的物理特性入手，最終探索了聲音振動頻率之間的客觀規律。他得出的最基本結論便是：當兩個音在頻率上剛好呈2的倍數時，它們聽起來最相似。例如，220赫茲的音與440赫茲、660赫茲的音組合在一起是最完美的。
在《音樂裡的數學式和諧》一文中，黎阮晃寫道：“準確地說，任何音符在物理上都是由振動頻率定義的。假設我們有一個參考頻率，其他音符可以根據它們與之對應的比例來加以定義。”
而這，便是畢達哥拉斯對後世影響最深遠的發現之一。在黎阮晃看來，這位提出萬物皆數的希臘思想家最偉大的貢獻便是把音樂變得數學化，從而為後來的作曲家們開闢了道路。
頻率背後的奧秘
錘子或者弦長只能用來幫助人們更形象地理解音高之間的關係，但振動頻率本身是抽象的。而它中間所包含的數學關係，才是一切音樂賴以生成的起點。這也提醒我們，音樂的本質是如此的抽象，它與情感的連接方式絕不是觸手可及的。
如果不以物理和數學的方式加以理解，那麼，音樂幾乎只能被理解為是一種“魔法”。
現代科學的成果深化了畢達哥拉斯的發現。眾所周知，音樂是以聲波的形式在空氣中傳播。而聲波會產生微小的氣壓，我們聽到的所有聲音都是由這些氣壓變化所引起的。在音樂中，它們撞擊耳朵的頻率控制著我們聽到的音高。
現在的問題是，為什麼從畢達哥拉斯開始，八度音就被認為是最和諧的？這一普遍真理能否通過氣壓與頻率中存在的數學規律予以更進一步的解釋？
對此，傑弗裡·羅森塔爾在《音樂裡的奇妙數學》一文中，以中央C為例進行了說明。
中央C（也就是小字一組的C，即C1）是所有人學習鋼琴時接觸到第一個音符，它的頻率約為262赫茲。這意味著，當中央C響起時，每秒約有262團空氣衝擊我們的耳朵，換算過來就是每0.00382秒就有一團空氣抵達我們的耳朵。
按照羅森塔爾的研究方法，每當有一團空氣到達時，就畫出一個X，於是，我們就得出了中央C的聲波示意圖：
中央C的聲波示意圖
而當男高音唱出High C這個音時，空氣團每0.00191秒就會抵達我們的耳朵，正好是中央C時間週期的一半，或者說兩倍的頻率，這是八度音程的普遍真理：提高一個八度就等於增加一倍的頻率，因此，我們可以得出High C的聲波示意圖：
High C的聲波示意圖
需要順便指出的是，由於男高音採用的是高八度記譜，所以High C在樂譜上是C3，但實際頻率是C2。
如果同時發出中央C和High C這兩個音，那麼根據兩者的頻率，它們的空氣團就會以這樣的方式組合在一起：
聲波的組合示意圖
根據羅森塔爾的研究，我們很容易發現：因為High C的頻率正好是中央C的兩倍，High C中的每兩團空氣剛好對應中央C中的一團空氣，這兩個音的X在示意圖上完全匹配，這就是為什麼這兩個音聽起來是絕對和諧的。
八度音程只是最簡單的範例，其它類型的和聲形態和音程關係，也可以通過上述方法予以說明。
更深層的聯繫
然而，儘管音高和節奏可以用數學方法予以解釋，但它們只不過是音樂的基本構成單位而已，就像一部小說中使用的詞彙或者語法。只有把各種音符與節拍組合起來，變成一首音樂作品，數學和音樂之間更深層的聯繫才得以顯現。
在數學專欄作者娜塔莎·吉爾登看來，這種更深層的聯繫是通過模式實現的。作曲家通過特定的模式來創作音樂，而數學中也存在著許許多多模式，人們以此為線索來得出各種結論。模式的核心是關係，關係既是數學的基礎，也是音樂的基礎。
牛津大學數學教授馬庫斯·杜·索托伊認為，模式其實就是結構。他在一篇文章中提到了以下事實：
巴赫的《哥德堡變奏曲》就是利用對稱的數字遊戲創造出了從主題到變奏的一系列發展；梅西安則被數學中的質數所吸引，在他著名的《時間終結》四重奏中創造了一種不安和永恆的感覺；勳伯格的12音體系毫無疑問是以數學結構為基礎的。
而著名的斐波那契數列（即1、2、3、5、8、13……其特徵是每一個數字等於前兩個數字之和）同樣是一個充滿吸引力的結構，體現出某種有機的發展進程，巴托克和德彪西等作曲家都從中獲得了靈感。
不難看出，音樂與數學的關係是全方位的：節奏依賴於算術，和聲來自於基本的數字關係，而某些音樂中的主題發展則反映了對稱性與幾何般的結構世界。正如斯特拉文斯基曾經說過的那樣：“音樂家應當從數學中找到對他有用的研究成果，這就好比學習另一門語言對詩人有用一樣。數學總是躲在表象的下方充滿誘惑地遊弋著。”
抽象結構的美感
如果說，數學和音樂都涉及抽象結構，那麼，按照一般性的假設，如果你擅長其中一門技藝，也就意味著擅長處理抽象結構，而這種能力將促使你更快掌握另一門技藝。
但正如哈佛醫學院兒科副教授娜丁·加布和哈佛大學醫學博士珍妮弗·祖克在一份研究報告中指出的那樣：“目前並沒有證據表明音樂訓練是否促進數學能力，或者數學技能能否提升音樂能力，或者這些技能是否會並行發展。”
實際上，儘管在音樂和數學中所處理的抽象結構有共通之處，但音樂和數學並不具有人們希望的那種神秘聯繫，或許無法滿足人們在教育上抱有的不切實際的期待。
既然如此，我們究竟應該如何理解這種抽象結構？在《經久不衰的音樂與數學神話》一文中，劍橋大學數學教授蒂姆·高爾斯舉了一個頗為生動的例子。
無論在音樂還是在數學中，都必須具備一種能力：解決“A之於B相當於C之於D”這樣的問題。這類問題也時常出現在智力測驗中，比如“汽車之於車庫，就像飛機之於什麼”。這類問題在數學中的表現形式很常見，但在音樂中是如何體現的呢？
高爾斯提到了莫扎特的《G大調絃樂小夜曲》開頭的兩個樂句。第二個樂句顯然是對第一個樂句的明確回答。除此之外，人們甚至無法想象還能有其它的正確答案。它的抽象結構相當於：“如果第一個樂句明顯向上，並採用了G和絃的音符；那麼，相應的樂句就會是明顯向下的，並且使用D7和絃的音符。”
這種抽象結構是作曲家必須掌握的，而音樂中也充滿了這種小謎題，內行可以從中發現音樂結構中存在的相似性，並以此為基礎建立起心理期待。這種期待有可能被暫時打亂，或者延遲滿足，但期待本身會讓人感受到快樂。
正因為如此，我們完全可以大膽地設想：數學家是否會更傾向於以一種更具分析性的“A之於B相當於C至於D”這樣的方式來聽音樂，而不是簡單地讓自己沉浸在某種情緒中？
從這個角度看，兩者的聯繫就像牛津大學的索托伊教授所說的那樣：
音樂不只是最後的終止和絃，數學也不僅僅是關於結果的科學。正是這段旅程讓數學家興奮不已。我反覆閱讀校樣，就像我聽音樂一樣：理解主題是如何建立、突變、交織和轉變的。人們沒有意識到的是，數學涉及到很多選擇：不是關於什麼是真的什麼是假的……而是關於決定什麼樣的數學是值得“聽”的。
這種深層的聯繫表明：音樂不只是情感的藝術，數學也不只是機械的計算。
