2019年河北省中考數學試卷
26．（12分）如圖，若b是正數，直線l:y=b與y軸交於點A；直線a:y=x-b與y軸交於點B；拋物線L:y=-x^2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．
（1）若AB=8，求b的值，並求此時L的對稱軸與a的交點座標；
（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；
（3）設x0≠0，點（x0,y1），(x0,y2)，(x0,y3)分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數，求點(x0，0)與點D間的距離；
（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱座標都是整數的點稱為“美點”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時“美點”的個數．
【真題分析】
（1）當x=0時，y=x-b=-b，所以B(0,-b) ,而AB=8，A(0,b)，則b-(-b)=8，b=4．所以L:y=-x^2+4x，對稱軸x=2，當x=2吋，y=x-4=-2，於是L的對稱軸與a的交點為(2,-2) ；
（2）y=-(x-b/2)^2+b^2/4，頂點C(b/2,b^2/4)因為點C在l下方，則C與l的距離b-b^2/4=-1/4(b-2)^2+1≤1，所以點C與1距離的最大值為1；
（3）由題意得y3=(y1+y2)/2，即y1+y2=2y3，得b+x0-b=2(-x0^2+bx0)解得x0=0或x0=b-1/2．但x0≠0，取x0=b-1/2，對於L，當y=0吋，0=-x^2+bx，即0=-x(x-b)，解得x1=0，x2=b，右交點D(b,0)．因此點(x0,0)與點D間的距離b-(b-1/2)=1/2
（4）①當b=2019時，拋物線解析式L:y=-x^2+2019x直線解析式a:y=x-2019，美點”總計4040個點，
②當b=2019.5時，拋物線解析式L:y=-x^2+2019.5x，直線解析式a:y=x-2019.5，“美點”共有1010個．
看完分析後，自己試著做做吧～
【答案解析】
解：（1）當時x=0時，y=x-b=-b，
∴B(0,-b) ,
∵AB=8，A(0,b)
∴b-(-b)=8，b=4．
∴L:y=-x^2+4x，
∴L的對稱軸x=2，
當x=2吋，y=x-4=-2，
∴L的對稱軸與a的交點為(2,-2) ；
（2）y=-(x-b/2)^2+b^2/4，
∴L的頂點C(b/2,b^2/4)
∵C點在l下方，
∴C與l的距離b-b^2/4=-1/4(b-2)^2+1≤1，
∴點C與1距離的最大值為1；
（3）由題意得y3=(y1+y2)/2，即y1+y2=2y3，
得b+x0-b=2(-x0^2+bx0)
解得x0=0或x0=b-1/2，
但x0≠0，取x0=b-1/2，
對於L，當y=0吋，0=-x^2+bx，
即0=-x(x-b)，
解得x1=0，x2=b，
∴b＞0
右交點D(b,0)．
因此點(x0,0)與點D間的距離b-(b-1/2)=1/2
（4）①當b=2019時，拋物線解析式L:y=-x^2+2019x
直線解析式a:y=x-2019，
聯立上述兩個解析式可得：x1=-1，x2=2019，
∴可知每一個整數x的值 都對應的一個整數y值，且-1和2019之間（包括-1和2019)共有2021個整數；
∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，
∴線段和拋物線上各有2021個整數點
∴總計4042個點，
這兩段圖相交點有2個點重複，
∴“美點”的個數：4042-2=4040（個）；
②當b=2019.5時，拋物線解析式L:y=-x^2+2019.5x，
直線解析式a:y=x-2019.5，
聯立上述兩個解析式可得：x1=-1，x2=2019.5，
∴當x取整數時，在一次函數上y=-2019.5，y取不到整數值，因此在該圖象上“美點”為0，
在二次函數圖象上y=x^2+2019.5，當x為偶數時，函數值y可取整數，
可知-1到2019.5之 間有1010個偶數，因此“美點”共有1010個．
故b=2019時“美點”的個數為4040個，b=2019.5時“美點”的個數為1010個．
【考點點評】
本題考查了二次函數，熟練運用二次函數的性質以及待定係數法求函數解析式是解題的關鍵．
