市面上某些培訓有很多問題。
就拿數量來說，該詳細的不詳細，比如最值問題；不該詳細的，弄了一大堆，比如經濟問題。
空口無憑，乾貨為證——
最值問題，很多教材就是寥寥數頁，所以大家總會發現，學了就是不會解題——放心吧，不是你們蠢，真正蠢的另有其人。
最值問題我分為五大類：
最值問題一、抽屜原理類
最值問題二、集合分配型
最值問題三、算術極值型
最值問題四、幾何最值型
第五類：是思維型
思維型注重思維靈活性，所以很難通過套路來提高；但是(轉折是重點哦），前四類是很容易通過套路化流程、標準化操作來提高的。
知識點非常多，每類只選最簡單的一題，便於大家理解~~
最值問題一、抽屜原理類
第一抽屜原理：把（mn+1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至少有（m+1）個物體。
第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體。
（一）標準型抽屜原理類
(13國考-66）某單位組織黨員參加黨史、黨風康政建設、科學發展觀和業務能力四項培訓，要求每名黨員參加且只參加其中的兩項。無論如何安排，都有至少5名黨員參加的培訓完全相同。問該單位至少有多少名黨員（ ）
A．17 B．21 C．25 D．29
m+1=5 m=4
n=C(4，2)=6
mn+1=4×6+1=25
（二）非標準型抽屜原理類
(12國考-66）有300名求職者參加高端人才專場招聘會，其中軟件設計類、市場營銷類、財務管理類和人力資源管理類分別有100、80、70和50人。問至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業相同?（）
A. 71 B. 119 C. 258 D. 277
解一、mn+1個人的時候必有m+1個人找到的工作專業相同，所以是要求出mn+1的人數，現在已知n=4，m+1=70。考慮到人力資源專業只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人。
解二、將“至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業相同?”變成“至多有多少人找到工作，沒有70名找到工作的人專業相同?”
也就是說每類專業至多有69人找到工作，4類專業分別是100、80、70和50人。
也就是69×3＋50，因為已經是最多的情況，此時再多一人即可打破條件“沒有70名找到工作的人專業相同”。也就是69×3＋50+1=258
注意 ：在得出69×3+50+1即可使用尾數法
最值問題二、集合分配型
這個內容很多——先列個框架
A、贏者通吃型——兩級分化
一、求極端值
（一）兩集合型——1、純數值；2、多人次問題；3、含比例型
（二）多集合型——1、分類討論；2、分步考慮；
二、求兩極差
B、天下大同型
一、求極端值
二、求兩極差
C、混合型
A、贏者通吃型——兩級分化
一、求極端值
（一）兩集合型
1、純數值
（15粵縣-42）在一次抽獎活動中，要把18個獎品分成數量不等的4份各自放進不同的抽獎箱。則一個抽獎箱最多可以放（）個獎品。
A.6 B.8 C.12 D.15
要使得其中的一個箱子最多，則其他的儘量最少；
因為分成的4份是數量不等的，則最少的三個箱子最少分別為1,2,3
所以最大的為18-1-2-3=12個，因此本題答案為C選項。
2、多人次問題
關鍵是人數與人次差
以三集合為例，假設滿足三個條件的元素數量分別為A,B,C,而至少滿足一個條件之一的元素的總量為W。
其中：滿足一個條件的元素數量為x，滿足兩個條件的元素數量為y，滿足三個條件的元素數量為z。則
人數W=x+y+z （1）
人次M=A+B+C=x+2y+3z （2）
M-W=y+2z
（17蘇C-69）某單位有72名職工，為豐富業餘生活，擬舉辦書法、乒乓球和圍棋培訓班，要求每個職工至少參加一個班。已知三個班報名人數分別為36、20、28，則同時報名三個班的職工數至多是：
A.6人 B.12人 C.16人 D.20人
總人次數=36+20+28=84次，每人分一次，還剩下84-72=12次，
y+2z=12 z最大取6 則A
特別注意其在資料分析中的運用，這也是為什麼近年有的同學覺得資料難的原因——因為他們放棄了數量
有酬勞動的參與率為59.0%，無酬勞動的參與率為70.2%。
（19蘇A-120）從上述資料中能夠推出的是
C.受訪居民中，有酬勞動和無酬勞動都參與的佔比至少為59.0%
C、有酬勞動的參與率為59.0%，無酬勞動的參與率為70.2%。常見的集合極值問題，1-[（1-A)+(1-B)]=（A+B)-1=29.2% 錯誤
3、含比例型
此處題目放了，肯定一堆問為什麼這麼解的，所以還是不放了吧
（二）多集合型
1、分類討論 2、分步考慮——這實際是一體雙翼的關係
（13.413聯考-22）60名員工投票從甲、乙、丙三人中評選最佳員工，選舉時每人只能投票選舉一人，得票最多的人當選。開票中途累計，前30張選票中，甲得15票，乙得10票，丙得5票。問在尚未統計的選票中，甲至少再得多少票就一定當選?( )
A. 15 B. 13 C. 10 D. 8
解一：設甲得了N票，對甲來說，最不利情況是剩下的票除了自己的N票，其他（30-N)票都是乙的，
則15+N＞10+30-N→2N＞25→N＞12.5 取整，N最少是12.5
解二：轉換思路，最不利情況一樣，總共60票，除了丙的5票，剩下55票，甲須得到過半即28票，還需28-15=13票
注意解二的思想，如能熟練運用，可直接心算，則至多20秒即可。（此類題目多次出現於真題中）
（11皖-13）有120名職工投票從甲、乙、丙三人中選舉一人為勞模，每人只能投一次，且只能選一個人，得票最多的人當選。統計票數的過程發現，在前81張票中，甲得21票，乙得25票，丙得35票。在餘下的選票中，丙至少再得幾張選票就一定能當選？（ ）
A.15 B.18 C.21 D.31
120-21=99 50-35=15
二、求兩極差
（19魯-48）某集團有13個分公司，每個分公司的員工數均不超過50人。甲和乙兩個分公司各招聘若干人後，員工人數分別達到76人和137人，且集團平均每個分公司的員工數增加了9人，問甲分公司和乙分公司在招聘前的員工最多相差幾人？
A.4 B.3 C.2 D.1
甲乙兩個公司共招聘了13×9=117人、招聘前共有76+137-117=96人=50+46，最多相差50-46=4人，選A
B、天下大同型
一、求極端值
（一）可以相同
（14.412-75）某工廠有100名工人報名參加了4項專業技能課程中的一項或多項。已知A課程和B課程不能同時報名，如果按照報名參加的課程對工人進行分組，將報名參加的課程完全一樣的工人分到同一組中，則人數最多的組最少有多少人？
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
解一：分類討論
如果每人只報一個，那麼有4組；
如果每人都報2個，那麼是C(4,2)有6組，減去AB這1組，有5組;
如果每人報名3項，那麼有C43=4種，減去ABC和ABD2種，為2組。
那麼一共有4+5+2=11組，
解二：逆向思考，總數=2^4-1,不滿足情況的是AB選定後，2^2=4，16-1-4=11
100=11×9+1 m+1=10 C
(二）不能相同
(14國考-63）某連鎖企業在10個城市共有100家專賣店，每個城市的專賣店數量都不同。如果專賣店數量排名第5多的城市有12家專賣店，那麼賣店數量排名最後的城市，最多有幾家專賣店？
A.2 B.3 C.4 D.5
要使最後的最多，就要使其他的儘可能少，則前4分別是12+4,12+3.。。12+1，前五共是12×5+（1+2+3+4）=70
後5應分別是n，n+1，n+2.。。n+4,=5n+10，n=4
二、求兩極差
（18魯-60））某市場調查公司3個調查組共40餘人，每組都有10餘人且人數各不相同。2017年重新調整分組時發現，若想分為4個人數相同的小組，至少需要新招1人；若想分為5個人數相同的小組，至少還需要新招2人。問原來3個組中人數最多的組比人數最少的組至少多幾人？
A.2 B.3 C.4 D.5
總人數除以4餘3、除以5餘3，
通項公式為20n+3，當n=2時，
總人數為43人=13+14+16，16-13=3人，選B
C、混合型
（10國考-55）某機關20人參加百分制的普法考試，及格線為60分，20人的平均成績為88分，及格率為95%。所有人得分均為整數，且彼此得分不同。問成績排名第十的人最低考了多少分?
A.88 B.89 C.90 D.91
要第十的人最低，其他的人就要儘可能高，分類討論：
1個不及格，不及格最高是59，
第一到第九最多是100,99....92.加起來是（100+92）×9/2=864
設第十N分，他後面的9個及格的最多是N-1，N-2…..N-9，加起來是10N-45
也就是59+864+10N-45=88×20=1760，算得N為88.2
因為N是整數，所以N應該為89
最值問題三、算術極值型
一、和或積定值求極值
（一）和固定，求積最大值
設a+b=c(c為定值)則
ab=a(c-a)=ac-a^2=-(a-c/2)^2+c^2/4≤c^2/4
當a=c/2時,等號成立
即a=b=c/2時,ab最大
周長一定，長方形的長、寬越接近，面積越大。
（15渝-55）用18釐米長的警戒線圍成各種長方形，要求場和寬的長度都是釐米數，則圍成的長方形的面積最大是多少？
A.18平方釐米 B.20平方釐米 C.25平方釐米 D.40平方釐米
長+寬=9，要使得面積最大、長和寬儘可能接近，
長=5、寬=4，面積=5×4=20，選B
（二）積固定，求和最小值
（a+b）^2=4ab+（a-b）^2≥4ab→（a+b）≥2√ab a=b時，a+b為最小值
（18聯A-12）某村民要在屋頂建造一個長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那麼要造一個深為3米容積為48立方米的無蓋貯水池最低造價是多少元？
A.6460 B.7200 C.8160 D.9600
底面積=48/3=16平方米、底面周長最小為4×4=16米，
總造價=底面積造價+側面積造價=16×150+16×3×120=16×510=8160元，選C
尾數法
二、函數型求極值
（一）一次方程
（18省級-69）棗園每年產棗2500公斤，每公斤固定盈利18元。為了提高土地利用率，現決定明年在棗樹下種植紫薯（產量最大為10000公斤），每公斤固定盈利3元。當紫薯產量大於400公斤時，其產量每增加n公斤將導致棗的產量下降0.2n公斤。問該棗園明年最多可能盈利多少元？
A、46176 B、46200 C、46260 D、46380
當紫薯產量大於400公斤時，每增加n公斤將導致棗的產量下降0.2n公斤。
假設紫薯的產量為（400+n）公斤，則此時棗的產量為（2500-0.2n）公斤。
則總盈利為
18×（2500-0.2n）+3×（400+n）=46200-0.6n，
要讓總盈利最大，則n取0，此時總盈利為46200元。
故正確答案為B。
（二）二次方程
1、和或積定值求極值
2、求導
3、配方
（19深圳-52）某類商品按質量分為8個檔次，最低檔次商品每件可獲利8元，每提高一個檔次，則每件商品的利潤增加2元。最低檔次商品每天可產出60件，每提高一個檔次，則日產量減少5件。若只生產其中某一檔次的商品，則每天能獲得的最大利潤是（ ）元。
A.620 B.630 C.640 D.650
假設提高了x個檔次、每件利潤增加2x元、產量減少5x件，總利潤=（8+2x）（60-5x）=10×（4+x）（12-x）
解一：令a=4+x，b=12-x，則a+b=16，ab最大值為a=b=8，x=4；
解二：求導，（4+x）（12-x）=48+8x-x^2，導數為8-2x，x=4時，取最大值
解三：配方法，（4+x）（12-x）=48+8x-x^2=64-（x-4）^2
三、倍數與約數
（一）最大公約數
（18省級-63）企業某次培訓的員工中有369名來自A部門，412名來自B部門。現分批對所有人進行培訓，要求每批人數相同且批次儘可能少。如果有且僅有一批培訓對象同時包含來自A和B部門的員工，那麼該批中有多少人來自B部門？
A、14 B、32 C、57 D、65
總人數=批次×每批人數
兩個部門的總人數=369+412=781人，拆分781=71×11，所以每批最多71人；
把B部門的412人按照每批71人進行分組，412÷71=5…57人，所以混合組中有57人來自B部門，選C
最後一步時可用尾數法
（二）最小公倍數
（18聯A-14）裝修工人小鄭用相同的長方形瓷磚裝飾正方形牆面，每10塊瓷磚組成一個如右圖所示的圖案。小鄭用這個圖案恰好鋪滿該牆面，那麼，他最少用了多少塊瓷磚？
A.250 B.300 C.400 D.450
設長方形短邊a長邊b，則2b=b+3a b=3a
圖案兩邊分別為2a+b=5a和2b=6b
牆面邊長C最小時，為5a和6a的最小公倍數30a 則共需圖案5×6=30 則B
四、最優策略
（19蘇C-57）某鎮政府有工作人員104人，他們在清明節前去烈士陵園緬懷革命先烈，需全部坐船渡過一條河。已知大船可載客12人，小船可載客5人，大船和小船不論坐滿與否，都按滿載算。若大船渡一次70元，小船渡一次30元，則他們渡河最節省的方案是：
A.7只大船和4只小船 B.2只大船和16只小船
C.6只大船和2只小船 D.1只大船和20只小船
小船平均每人單價=30/5=6元、大船平均每人單價=70/12＜6元，
所以應儘可能多的使用大船；結合選項，A項剛好滿載，選A
五、其他
（19浙A-71）1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字各用一次，組成三個能被9整除的三位數，這三個數的和最大是：
A.2007 B.2394 C.2448 D.2556
兩個限制條件：
1、百位儘可能大，十位其次，個位儘可能小
2、每個數的數字和都為9倍數
1+2+…+9=45=9+18+18，
數字和為9的三位數最大是621，另外兩個三位數最大是954和873，
（621+954+873）=2448，選C
傳圖好累，幾何類就不上傳了， 反正，大家也能瞭解——某些機構是多麼敷衍了事了
