市面上某些培训有很多问题。
就拿数量来说，该详细的不详细，比如最值问题；不该详细的，弄了一大堆，比如经济问题。
空口无凭，干货为证——
最值问题，很多教材就是寥寥数页，所以大家总会发现，学了就是不会解题——放心吧，不是你们蠢，真正蠢的另有其人。
最值问题我分为五大类：
最值问题一、抽屉原理类
最值问题二、集合分配型
最值问题三、算术极值型
最值问题四、几何最值型
第五类：是思维型
思维型注重思维灵活性，所以很难通过套路来提高；但是(转折是重点哦），前四类是很容易通过套路化流程、标准化操作来提高的。
知识点非常多，每类只选最简单的一题，便于大家理解~~
最值问题一、抽屉原理类
第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。
第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
（一）标准型抽屉原理类
(13国考-66）某单位组织党员参加党史、党风康政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员（ ）
A．17 B．21 C．25 D．29
m+1=5 m=4
n=C(4，2)=6
mn+1=4×6+1=25
（二）非标准型抽屉原理类
(12国考-66）有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?（）
A. 71 B. 119 C. 258 D. 277
解一、mn+1个人的时候必有m+1个人找到的工作专业相同，所以是要求出mn+1的人数，现在已知n=4，m+1=70。考虑到人力资源专业只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人。
解二、将“至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同?”变成“至多有多少人找到工作，没有70名找到工作的人专业相同?”
也就是说每类专业至多有69人找到工作，4类专业分别是100、80、70和50人。
也就是69×3＋50，因为已经是最多的情况，此时再多一人即可打破条件“没有70名找到工作的人专业相同”。也就是69×3＋50+1=258
注意 ：在得出69×3+50+1即可使用尾数法
最值问题二、集合分配型
这个内容很多——先列个框架
A、赢者通吃型——两级分化
一、求极端值
（一）两集合型——1、纯数值；2、多人次问题；3、含比例型
（二）多集合型——1、分类讨论；2、分步考虑；
二、求两极差
B、天下大同型
一、求极端值
二、求两极差
C、混合型
A、赢者通吃型——两级分化
一、求极端值
（一）两集合型
1、纯数值
（15粤县-42）在一次抽奖活动中，要把18个奖品分成数量不等的4份各自放进不同的抽奖箱。则一个抽奖箱最多可以放（）个奖品。
A.6 B.8 C.12 D.15
要使得其中的一个箱子最多，则其他的尽量最少；
因为分成的4份是数量不等的，则最少的三个箱子最少分别为1,2,3
所以最大的为18-1-2-3=12个，因此本题答案为C选项。
2、多人次问题
关键是人数与人次差
以三集合为例，假设满足三个条件的元素数量分别为A,B,C,而至少满足一个条件之一的元素的总量为W。
其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z。则
人数W=x+y+z （1）
人次M=A+B+C=x+2y+3z （2）
M-W=y+2z
（17苏C-69）某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是：
A.6人 B.12人 C.16人 D.20人
总人次数=36+20+28=84次，每人分一次，还剩下84-72=12次，
y+2z=12 z最大取6 则A
特别注意其在资料分析中的运用，这也是为什么近年有的同学觉得资料难的原因——因为他们放弃了数量
有酬劳动的参与率为59.0%，无酬劳动的参与率为70.2%。
（19苏A-120）从上述资料中能够推出的是
C.受访居民中，有酬劳动和无酬劳动都参与的占比至少为59.0%
C、有酬劳动的参与率为59.0%，无酬劳动的参与率为70.2%。常见的集合极值问题，1-[（1-A)+(1-B)]=（A+B)-1=29.2% 错误
3、含比例型
此处题目放了，肯定一堆问为什么这么解的，所以还是不放了吧
（二）多集合型
1、分类讨论 2、分步考虑——这实际是一体双翼的关系
（13.413联考-22）60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计，前30张选票中，甲得15票，乙得10票，丙得5票。问在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选?( )
A. 15 B. 13 C. 10 D. 8
解一：设甲得了N票，对甲来说，最不利情况是剩下的票除了自己的N票，其他（30-N)票都是乙的，
则15+N＞10+30-N→2N＞25→N＞12.5 取整，N最少是12.5
解二：转换思路，最不利情况一样，总共60票，除了丙的5票，剩下55票，甲须得到过半即28票，还需28-15=13票
注意解二的思想，如能熟练运用，可直接心算，则至多20秒即可。（此类题目多次出现于真题中）
（11皖-13）有120名职工投票从甲、乙、丙三人中选举一人为劳模，每人只能投一次，且只能选一个人，得票最多的人当选。统计票数的过程发现，在前81张票中，甲得21票，乙得25票，丙得35票。在余下的选票中，丙至少再得几张选票就一定能当选？（ ）
A.15 B.18 C.21 D.31
120-21=99 50-35=15
二、求两极差
（19鲁-48）某集团有13个分公司，每个分公司的员工数均不超过50人。甲和乙两个分公司各招聘若干人后，员工人数分别达到76人和137人，且集团平均每个分公司的员工数增加了9人，问甲分公司和乙分公司在招聘前的员工最多相差几人？
A.4 B.3 C.2 D.1
甲乙两个公司共招聘了13×9=117人、招聘前共有76+137-117=96人=50+46，最多相差50-46=4人，选A
B、天下大同型
一、求极端值
（一）可以相同
（14.412-75）某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项。已知A课程和B课程不能同时报名，如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人？
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
解一：分类讨论
如果每人只报一个，那么有4组；
如果每人都报2个，那么是C(4,2)有6组，减去AB这1组，有5组;
如果每人报名3项，那么有C43=4种，减去ABC和ABD2种，为2组。
那么一共有4+5+2=11组，
解二：逆向思考，总数=2^4-1,不满足情况的是AB选定后，2^2=4，16-1-4=11
100=11×9+1 m+1=10 C
(二）不能相同
(14国考-63）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？
A.2 B.3 C.4 D.5
要使最后的最多，就要使其他的尽可能少，则前4分别是12+4,12+3.。。12+1，前五共是12×5+（1+2+3+4）=70
后5应分别是n，n+1，n+2.。。n+4,=5n+10，n=4
二、求两极差
（18鲁-60））某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同。2017年重新调整分组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A.2 B.3 C.4 D.5
总人数除以4余3、除以5余3，
通项公式为20n+3，当n=2时，
总人数为43人=13+14+16，16-13=3人，选B
C、混合型
（10国考-55）某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分?
A.88 B.89 C.90 D.91
要第十的人最低，其他的人就要尽可能高，分类讨论：
1个不及格，不及格最高是59，
第一到第九最多是100,99....92.加起来是（100+92）×9/2=864
设第十N分，他后面的9个及格的最多是N-1，N-2…..N-9，加起来是10N-45
也就是59+864+10N-45=88×20=1760，算得N为88.2
因为N是整数，所以N应该为89
最值问题三、算术极值型
一、和或积定值求极值
（一）和固定，求积最大值
设a+b=c(c为定值)则
ab=a(c-a)=ac-a^2=-(a-c/2)^2+c^2/4≤c^2/4
当a=c/2时,等号成立
即a=b=c/2时,ab最大
周长一定，长方形的长、宽越接近，面积越大。
（15渝-55）用18厘米长的警戒线围成各种长方形，要求场和宽的长度都是厘米数，则围成的长方形的面积最大是多少？
A.18平方厘米 B.20平方厘米 C.25平方厘米 D.40平方厘米
长+宽=9，要使得面积最大、长和宽尽可能接近，
长=5、宽=4，面积=5×4=20，选B
（二）积固定，求和最小值
（a+b）^2=4ab+（a-b）^2≥4ab→（a+b）≥2√ab a=b时，a+b为最小值
（18联A-12）某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么要造一个深为3米容积为48立方米的无盖贮水池最低造价是多少元？
A.6460 B.7200 C.8160 D.9600
底面积=48/3=16平方米、底面周长最小为4×4=16米，
总造价=底面积造价+侧面积造价=16×150+16×3×120=16×510=8160元，选C
尾数法
二、函数型求极值
（一）一次方程
（18省级-69）枣园每年产枣2500公斤，每公斤固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯（产量最大为10000公斤），每公斤固定盈利3元。当紫薯产量大于400公斤时，其产量每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。问该枣园明年最多可能盈利多少元？
A、46176 B、46200 C、46260 D、46380
当紫薯产量大于400公斤时，每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。
假设紫薯的产量为（400+n）公斤，则此时枣的产量为（2500-0.2n）公斤。
则总盈利为
18×（2500-0.2n）+3×（400+n）=46200-0.6n，
要让总盈利最大，则n取0，此时总盈利为46200元。
故正确答案为B。
（二）二次方程
1、和或积定值求极值
2、求导
3、配方
（19深圳-52）某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（ ）元。
A.620 B.630 C.640 D.650
假设提高了x个档次、每件利润增加2x元、产量减少5x件，总利润=（8+2x）（60-5x）=10×（4+x）（12-x）
解一：令a=4+x，b=12-x，则a+b=16，ab最大值为a=b=8，x=4；
解二：求导，（4+x）（12-x）=48+8x-x^2，导数为8-2x，x=4时，取最大值
解三：配方法，（4+x）（12-x）=48+8x-x^2=64-（x-4）^2
三、倍数与约数
（一）最大公约数
（18省级-63）企业某次培训的员工中有369名来自A部门，412名来自B部门。现分批对所有人进行培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包含来自A和B部门的员工，那么该批中有多少人来自B部门？
A、14 B、32 C、57 D、65
总人数=批次×每批人数
两个部门的总人数=369+412=781人，拆分781=71×11，所以每批最多71人；
把B部门的412人按照每批71人进行分组，412÷71=5…57人，所以混合组中有57人来自B部门，选C
最后一步时可用尾数法
（二）最小公倍数
（18联A-14）装修工人小郑用相同的长方形瓷砖装饰正方形墙面，每10块瓷砖组成一个如右图所示的图案。小郑用这个图案恰好铺满该墙面，那么，他最少用了多少块瓷砖？
A.250 B.300 C.400 D.450
设长方形短边a长边b，则2b=b+3a b=3a
图案两边分别为2a+b=5a和2b=6b
墙面边长C最小时，为5a和6a的最小公倍数30a 则共需图案5×6=30 则B
四、最优策略
（19苏C-57）某镇政府有工作人员104人，他们在清明节前去烈士陵园缅怀革命先烈，需全部坐船渡过一条河。已知大船可载客12人，小船可载客5人，大船和小船不论坐满与否，都按满载算。若大船渡一次70元，小船渡一次30元，则他们渡河最节省的方案是：
A.7只大船和4只小船 B.2只大船和16只小船
C.6只大船和2只小船 D.1只大船和20只小船
小船平均每人单价=30/5=6元、大船平均每人单价=70/12＜6元，
所以应尽可能多的使用大船；结合选项，A项刚好满载，选A
五、其他
（19浙A-71）1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字各用一次，组成三个能被9整除的三位数，这三个数的和最大是：
A.2007 B.2394 C.2448 D.2556
两个限制条件：
1、百位尽可能大，十位其次，个位尽可能小
2、每个数的数字和都为9倍数
1+2+…+9=45=9+18+18，
数字和为9的三位数最大是621，另外两个三位数最大是954和873，
（621+954+873）=2448，选C
传图好累，几何类就不上传了， 反正，大家也能了解——某些机构是多么敷衍了事了
