生活中我們處處可以碰到這樣一些惱人的事情：
在一個陽光明媚的下午，把剛洗好的衣服搭在晾衣繩上，結果“啪”的一聲繩子斷了。衣服散落一地，沾滿了塵土，不得不拿回去重洗。
開著車在山間小路中徜徉，愜意地享受著春光，突然前方出現一道警戒線，路邊立著大牌子，上寫四個大字：“此路不通”。
其實這兩件事情都涉及到一類共同的現象：“連續”(continuous)與“間斷”(discontinuous)。
數學的發展就是對客觀現象進行抽象與歸納，並在此基礎上進行演繹推理。而“連續”與“間斷”這類現象早就被數學家們注意到了。在初等的幾何問題中，我們會涉及到線的連續；而微積分創立以後，對連續性的探討又上升到了極限的高度；而到了20世紀，隨著現代拓撲學的誕生，人們對連續性又有了更深刻的認識。
可以看出，“連續”這個概念在數學中也是經歷了由直觀到形式，由原始到複雜，由具體到抽象這樣一個層層演進的過程，本文我們就來論述一下這個過程。
1.古典數學中的“連續”概念
微積分創立之前的數學被稱為古典數學，這個時期人們對數學的概念還停留在感性直觀的基礎上，沒有形成現代數學中那樣嚴謹的形式語言和邏輯規範，因此對“連續”這一概念的理解也是很原始的。所謂連續，就是像一條繩子那樣不要斷成兩段就可以了。
在小學奧數中，我們學過所謂的“一筆畫”問題，大意就是給出你一個複雜的圖形，要求你用筆畫出來。要滿足兩個要求：第一，筆不能離開紙面；第二，不能有重疊。
有趣的一筆畫問題
筆不離開紙面的意思就是連續的意思，只有這樣畫出來才是一條連續的、完整的線。一旦你的筆尖離開紙面再找另外一個地方繼續畫，那麼這條線就斷開了，也就不能是連續的了。
一筆畫問題來源於所謂的“哥尼斯堡七橋問題”，哥尼斯堡是曾經是普魯士一座非常重要的城市，現在的名字叫加里寧格勒，屬於俄羅斯。這座城市還誕生了另外一位偉大的哲學家——伊曼努爾·康德(Immanuel Kant，1724~1804)。
哥尼斯堡是一座多水的城市，人們在其中一條河流和其中的兩座小島上修建了七座橋樑：
七橋示意圖
不少人經常在這裡散步，走得多了人們便想到一個問題：能否一次性把這七座橋都走個遍，並且中途不走重複路線?
這其實就是最早的一筆畫問題：人不會跳，更不能飛，所以走出的路線一定是一條連續的線。同時要求一次性走完，就是說不能分成兩次或者多次。如果分成兩次或多次，那就相當於好幾段了，這樣一來路線就是斷開的。所以“七橋問題”裡面就隱含了人們關於“連續”與“間斷”最樸素的概念。
無數人試圖解決這個問題，他們天天在橋面上走來走去，可惜始終沒有人成功。1735年，幾名大學生把這個問題寄給了當時的大數學家歐拉。而歐拉果然不負眾望，通過一年的潛心研究，1736年歐拉向聖彼得堡科學院投去論文《哥尼斯堡的七座橋》，徹底解決了這個問題。就是我們現在在奧數中學到的“一筆畫理論”。簡單總結來說，如果一個連通圖的奇數點個數是0或2，則可以一筆畫出，其餘情況都不行。
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）
歐拉對“七橋問題”的解決，遠不是隻創立了一個一筆畫理論，它還是一門更為複雜的數學分支——拓撲學(Topology)的開端，“連續”與“間斷”的概念將進一步得到昇華，我們後文再做介紹。
2.微積分中的連續概念
17世紀
牛頓(Newton)和萊布尼茲(Leibniz)發明微積分以後，數學發展則完成了由古典數學向近代數學的轉換。人們開始從嚴格定義的角度來思考“連續”與“間斷”的概念。在直角座標系中，已知一個函數，我們都學過描點連線的方法來畫它的圖像。那麼這條線就有可能是連續的，也有可能是斷開的，那麼如何對這種連續或斷開做一個精確的定義呢？這就要回到微積分的起源。
牛頓發明微積分，當初是為了解決求變速運動的物體在某一時刻的瞬時速度這一問題，採用的方法就是：先求出在一個小時間段內的平均速度，再讓這個時間段無限趨近於0，得到的就是“一瞬間”的速度。這裡就涉及到“無窮小量”這個概念，於是“極限”的概念就產生了。
所謂函數在一點的極限，通俗的講就是當自變量x無限靠近某個數a的時候，它所對應的因變量y也向某個數L無限靠近，這時我們就說當x趨近於a時函數的極限是L。
比如上面那個圖可以清晰的看出來當x無限向2靠近的時候，y值就無限的向3靠近，於是我們就說x趨近於2時函數的極限是3。
極限的英文單詞是“limit”，因此我們採用如下符號來表示x趨近於a時函數的極限是L：
那麼極限和連續又有什麼關係呢？我們來看下面一幅圖：
這個函數在2這一點就是斷開的。再來分析一下，如果把它想象成是一條馬路的話，2這一點就是有一個洞。你開著車子在這條路上走，當走到2點時如果不剎車就會掉到洞裡，這就是斷開的概念。如果想讓它連續就需要有東西來把這個洞給補上，用什麼補呢，顯然就是2這一點的函數值f(2)。
但是你的f(2)必須恰好放到洞裡面，如果放在其它地方依然是堵不上的，比如下面這種情況：
所以f(2)必須放在4這個位置才行，這時這條道路才算是暢行無阻的。
所以當你的車子無限的向x=2這一點開去的時候，你大可不必心驚膽戰地踩剎車，因為f(2)這一點已經把4給堵上了。意味著f(2)這一點的值就是函數在x趨近於2時的極限值，即：
通過這個例子，我們就可以總結下來，一個函數f(x)在x=a處連續的定義就是滿足如下條件：
簡單來講就是極限值等於函數值。
極限值不等於函數值則在這一點是斷開的，比如第2幅圖裡面極限值是4，但函數值是3，二者不相等，所以它是斷開的。
這就是微積分裡面對連續的定義。當然在微積分創立初期，關於極限的理論還很不成熟，甚至在當時引發了很多爭論，最著名的就是來自於愛爾蘭哲學家貝克萊(George Berkeley，1685~1753)的關於“無窮小量幽靈”的討論。幸運的是。經過後來一系列數學家的努力，包括波爾查諾(Bolzano)，柯西(Cauchy)，魏爾斯特拉斯(Weierstrass)等人，最終給出了關於極限的嚴格定義，從徹底解決了關於連續性在數學中的定義問題。
研究完平面圖形之後，數學家的目光就轉向了三維空間乃至更高維數的空間。這就有了空間圖形的概念，包括空間曲面與空間曲線。
空間曲面一般是利用多元函數來刻畫的，x、y為自變量，它所對應的值z為因變量，這樣畫出來的圖形就是空間中的一個曲面。
空間曲線則是利用參數方程來刻畫的，x、y、z都是關於t的函數，t為自變量，它每取一個值時就可以得到一組xyz，相當於空間中的一個點，無數個點連成線就是空間中的一條曲線。
空間曲面和空間曲線當然也會有連續性的問題，而關於這些圖形連續性的定義，其實採用的跟平面圖形完全一樣的思想，就是函數值等於極限值，
當然在空間中定義函數極限會比平面上覆雜一些，但是其基本思路都是一致的，這裡就不再敘述了。
3.拓撲學中的連續概念
數學發展到20世紀，進入了高度抽象的階段，在幾何方面，拓撲學(Topology)的發展日臻成熟，人們提出了抽象拓撲空間的完整理論，並在此基礎上建立了更加深刻的連續性的概念。
拓撲學的核心思想就是：研究幾何圖形在連續變形下的不變量。先來通俗地解釋一下，你把一個立體幾何圖形想象成是用橡皮泥捏成的，然後再把它揉捏變成其它形狀，但是要求不能戳洞，不能拉斷，也不能把分開的兩塊粘在一起，這就叫做連續變形。可以想象一下，利用連續變形，你可以把一個圓球體變成橢球體，還可以變成正方體。但是你卻永遠無法把它變成一個游泳圈的形狀，因為不允許戳洞。那麼什麼叫不變量呢？通俗的講就是
變形前和變形後所具有的相同的特徵。比如“洞”的個數就是一個不變量。
所以拓撲學有一個很形象的名字，叫做“橡皮泥的幾何學”。
那麼又如何利用嚴格的數學語言來定義“不戳破，不拉斷，也不粘合”呢？這就需要用到拓撲空間(topological space)的概念了。拓撲空間是一個高度抽象化的概念，它的本質是一個滿足若干條公理的集合。1906年，法國數學家
弗雷歇(M.R Fréchet, 1878～1973)，將傳統的幾何空間抽象為度量空間(metric space)，從而開啟了對拓撲空間的研究。拓撲空間的概念過於抽象，我用最形象化的語言來解釋一下。我們高中都學過開區間這個概念，是兩端都為圓括號的一個小區間。同樣可以推廣到平面上，就是一個由虛線圍成的小圓形。這樣的集合稱之為開集(open set)。
而一個拓撲空間，最形象的解釋就是由很多開集拼接而成的集合，注意，這些開集彼此可以有重疊。比如一條直線就可以看成是一個拓撲空間，因為它是由無數多個開區間拼接成的；平面也是一個拓撲空間，因為它可以看成是很多小圓形拼成的。
著名的莫比烏斯紙帶和克萊因瓶都是一些特殊的拓撲空間。
莫比烏斯紙帶
那麼一個幾何圖形可以連續變化到另一個幾何圖形是什麼意思呢？每一個幾何圖形都看成是一個拓撲空間，假設有兩個拓撲空間A和B，並且A到B存在一個映射f，如果f滿足，對於拓撲空間B中的任何一個開集，它在拓撲空間A中的原像還是一個開集，那麼就說f是連續的。
如果A到B存在這樣一個連續的映射f，那麼就說A可以連續的變化到B。如果A可以連續變化到B，反過來B也可以連續變化到A，那麼就說A與B是同胚的(homeomorphism)。
同胚的兩個拓撲空間，我們就說它們在拓撲學的意義下是一樣的，比如一個球形和一個正方形就是同胚的。
拓撲學中的連續是一種更為深刻的連續，它擺脫了感性中那種線的連續的形象，而直接研究的是更為抽象的圖形，甚至高維的圖形的連續。在這個意義上，人類對連續性的認識已經遠遠超出了你在中學階段接觸的那種幾何直觀。
4.結語
那麼人類對連續性的認識就到此為止了嗎，仍然沒有。
1922年，波蘭數學家巴拿赫(Stefan Banach, 1892～1945)提出了賦範線性空間(normed linear space)的概念，提出了範數意義下的連續概念。並由此創立了泛函分析(functional analysis)這門學科，並取得了豐碩的成果，成為20世紀最主要的數學分支之一。
可以看出連續性這個概念與其它數學概念一樣，人們對它的認識也是經歷了從原始到高級，層層遞進的一個過程。這其實告訴我們，在學習數學的過程中也要依照這一原則，先從感性上理解一個直觀概念，進而運用理性對其分析，隨著認識的加深而不斷有新的理解。最忌諱的就是中間跳過過程，好高騖遠，揠苗助長，這對學習數學是沒有任何幫助的。
本文參加【科學V計劃】，內容為作者原創。
