近年來，在大數據分析領域，機器學習領域，概率論大放異彩，尤其是貝葉斯分析，更是所有算法中不可不知的一個重點算法。
回到基礎，很多人儘管學過，並沒有真正理解貝葉斯概率的本質，所以應用的時候，看不出實際中哪些問題能歸納成貝葉斯概率問題，就失去了解決問題的能力。
我一直覺得，再難的數學題也怕舉個例子。今天我們看圖說話，可以更加直觀的理解貝葉斯概率，把問題模型在腦子裡樹立起來，就算是透徹理解了。
我們通過一個故事引出貝葉斯公式：
小明去醫院做常規體檢，在小護士的忽悠下，增加了一項罕見的病的檢查。結果，非常的不行，三天後小明被告知檢查結果呈陽性。小明悲痛欲絕，覺得自己下半生沒了希望，非常痛苦的發了朋友圈。
幸好，對門的老張是個教概率論的老師，他看到朋友圈嚇了一跳，立刻找到小明瞭解情況。待小明將情況說出後，老張立刻告訴他，情況沒那麼糟糕。
小明問道：“檢查結果呈陽性了，難道還不能說明問題？”
老張回答說：“問題就在這裡，他醫院的機子就不會檢查出錯嗎？”
小明說：“人家說了，這是最新德國進口的機器，檢查出錯的概率是千分之一，基本上沒錯的。”
老張笑了一下說：“千分之一就說明還是有錯的嘛，還不能下結論。”
小明說：“都千分之一了，也就是說我得病的可能性是百分之九十九點九。”
老張說：“你的病的可能性並不是百分之九十九點九。”
小明立刻來了精神，問道：“難道還有別的可能？”
老張說：“當然了，要知道你真的得這種病的可能性，還需要知道人群中患有這個疾病的概率”。
小明說：“我查過了，是萬分之五，這是一種罕見的病。”
人群中患病概率萬分之五
老張又說：“還有件事情必須搞清楚，就是所有人中，不管得病的不得病的，檢查結果呈陽性的是多少啊？”
小明說：“什麼意思？”
老張解釋說：“這很簡單，這個機器既有可能把好人檢測呈陽性，也有可能把病人檢測成陰性，對吧？雖然可能性很低，但是有可能的。”
小明點點頭：“這跟我有什麼關係？我已經是陽性了。機器那麼準，難道我還能是那千分之一嗎？”
老張立刻說：“問題就在這裡，你這種情況不是千分之一。”
小明聽完給醫院打了個電話，醫生告訴他，人群中呈陽性的人數佔所有檢查過的總人數的比值是千分之一，老張聽後哈哈大笑，這機子太破了，你八成沒事兒。
小明睜大眼睛問到：“真的嗎？”
老張嚴肅地說：“你聽說過貝葉斯公式嗎？下面我給你來分析一下，像 你這個情況就是檢查結果呈陽性，但是不知道是不是真得了這個病，對吧？”
小明點點頭。
老張接著說：“現在情況是這樣，檢查結果陽性，這是前提條件，我們需要知道的是在陽性的條件下，真正的的病概率，就是 P（病|陽），後面表示已經發生的條件（呈陽性），豎槓前面表示在陽性前提下，得病的概率。其實我們真正關心的是有沒有得病，而不是結果是不是陽性，對吧？”
小明表示聽懂了，點頭示意老張繼續說。
老張接著說：“要知道這個概率，我們需要知道人群中所有檢查呈陽性的概率，也就是P（陽），剛才你問過了是千分之一，也就是 P(陽)=0.001；然後呢，你還查過這個病在人群中發病的概率為萬分之五，也就是P（病）=0.0005； 對吧？
再根據你的說的這機器的準確度，它把患病的人檢測成為陽性的概率是百分之0.999， 請注意，這又是一個條件概率（見後注附加閱讀），條件就是確認患病的情況下，結果呈陽性的概率；換句話說就是有一千個確實得了病的，跑來讓這個機子來查，它會測出999個陽性，還有一個陰性，這就是你覺得機器很準的原因。
我們把這個條件概率記為：P（陽|病）=0.999，那麼我們要知道的是P（病|陽），也就是你的情況，我肯定告訴你，P（病|陽）絕對不等於P（陽|病），我給你畫個圖你就明白了。”
接著，老張就花了下面這張圖，小明一看就明白了：
“所以呢，你做為檢測結果呈陽性裡的一員，也就是所有紅框內的2000人，真實發病的只有999人，好人1001個，你得病的概率連一半都不到。”老張指著圖說。
小明大鬆一口氣，：“這個破機器這麼不準啊，那為什麼他告訴我準確率是99.9%，這不是騙人嗎？“
老張說:"倒也不能說是騙人，他們只是沒告訴你前提條件，前提條件是你真要是得病了，檢測結果呈陽性的幾率是99.9%，這還算可以啦。"
小明說：”我都快被嚇死了，多虧你來幫我分析。你怎麼這麼聰明啊，這麼難轉的彎兒都能繞明白，不愧是大學老師啊。“
老張說：”其實這是概率論裡的一個著名公式，就是貝葉斯公式。但我直接給你說公式怕講不明白，但我只要一畫圖你就明白了，下面就是這個公式。你看看。“
小明看了半天，又回去對著圖看，才明白。”這公式真夠彆扭的。“
老張說：”沒錯，很多學生理解不了，就是因為這公式表達的不夠直觀。所以我推薦畫圖來說話：
第一步：畫出一個長方形黑色方框代表總的人群數，取個好算的數字，這裡取200萬，後面你會明白。
第二步：在黑色長方形裡面，分成兩部分：綠色代表健康人，橘色代表發病的人。這是真實的統計概率，是再次驗證過真的得病的那些人。在這裡，P（病）=0.0005，1000人，而健康人是199000，這的確是個比較低的概率了。
第三步：在橘色框內，畫一個紅色的框，代表檢測呈陽性的那些人，這裡是99.9%，也就是999人，含義是：有一千個病人，送到機器前檢查，機器會告訴你999個陽性，一個陰性。它搞錯了1個。
第四步：很重要，別漏了！在綠色框內畫一個紅框，代表在健康人裡面檢測結果呈陽性的人，這一部分和剛才橘色內部的紅框內的
人數總和 代表在200萬人中，所有的檢測結果呈陽性的人。這個數據就是P（陽）=0.001，即2000人。剛才說了，這裡面真正有病的才999人，這個機器它把1001誤診了，給出了陽性的結果。所以，這個機器最大的問題不是在於有病的人檢測不出來，而是會把許多健康的人檢測成陽性。
第五步：特別簡單了，所有的陽性為2000人，有病的才999人，那麼你得病的概率是P（病|陽）=999/2000*100%=49.5%，還不到一半呢。
這也就是從所有呈陽性的結果裡挑出得病的那些，道理其實特別簡單的。其實找出所有呈陽性的人才是這個問題背後隱藏的真正信息。”
老張說完，小明就徹底明白了：“我要立刻去另一家醫院再查一遍，這機器太不靠譜了。“
”對的，應該複查一下！即使在最壞的情況下，也不要輕易下悲觀結論，概率問題隱藏著許多的貓膩，一不小心就會被他騙了。這裡最重要的就是一定要搞清楚一件事情發生的前提條件才行。“老張最後又強調了一下。
結尾：小明又去醫院複查了一次，他這次結果是陰性，那麼最後的問題是：
檢測結果為隱性的人，患病的概率多大呢？P（病|陰）結果就在圖裡哦！
算對的回覆一下哈，證明你學會了。
再來個例題：
設某公路經過的貨車與客車的數量之比為1:2，貨車中途停車修車的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該車是貨車的概率是多少？
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附加閱讀：
條件概率：
設A, B是兩個事件，且P(B)>0， 則在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率(conditional probability)為：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
全概率公式（formula of total probability)
將事件A分解成若干個小事件，通過求每個小事件的概率，然後相加從而求得事件A的概率。
這個A也就是貝葉斯公式後面隱藏的全部信息了。
