近年来，在大数据分析领域，机器学习领域，概率论大放异彩，尤其是贝叶斯分析，更是所有算法中不可不知的一个重点算法。
回到基础，很多人尽管学过，并没有真正理解贝叶斯概率的本质，所以应用的时候，看不出实际中哪些问题能归纳成贝叶斯概率问题，就失去了解决问题的能力。
我一直觉得，再难的数学题也怕举个例子。今天我们看图说话，可以更加直观的理解贝叶斯概率，把问题模型在脑子里树立起来，就算是透彻理解了。
我们通过一个故事引出贝叶斯公式：
小明去医院做常规体检，在小护士的忽悠下，增加了一项罕见的病的检查。结果，非常的不行，三天后小明被告知检查结果呈阳性。小明悲痛欲绝，觉得自己下半生没了希望，非常痛苦的发了朋友圈。
幸好，对门的老张是个教概率论的老师，他看到朋友圈吓了一跳，立刻找到小明了解情况。待小明将情况说出后，老张立刻告诉他，情况没那么糟糕。
小明问道：“检查结果呈阳性了，难道还不能说明问题？”
老张回答说：“问题就在这里，他医院的机子就不会检查出错吗？”
小明说：“人家说了，这是最新德国进口的机器，检查出错的概率是千分之一，基本上没错的。”
老张笑了一下说：“千分之一就说明还是有错的嘛，还不能下结论。”
小明说：“都千分之一了，也就是说我得病的可能性是百分之九十九点九。”
老张说：“你的病的可能性并不是百分之九十九点九。”
小明立刻来了精神，问道：“难道还有别的可能？”
老张说：“当然了，要知道你真的得这种病的可能性，还需要知道人群中患有这个疾病的概率”。
小明说：“我查过了，是万分之五，这是一种罕见的病。”
人群中患病概率万分之五
老张又说：“还有件事情必须搞清楚，就是所有人中，不管得病的不得病的，检查结果呈阳性的是多少啊？”
小明说：“什么意思？”
老张解释说：“这很简单，这个机器既有可能把好人检测呈阳性，也有可能把病人检测成阴性，对吧？虽然可能性很低，但是有可能的。”
小明点点头：“这跟我有什么关系？我已经是阳性了。机器那么准，难道我还能是那千分之一吗？”
老张立刻说：“问题就在这里，你这种情况不是千分之一。”
小明听完给医院打了个电话，医生告诉他，人群中呈阳性的人数占所有检查过的总人数的比值是千分之一，老张听后哈哈大笑，这机子太破了，你八成没事儿。
小明睁大眼睛问到：“真的吗？”
老张严肃地说：“你听说过贝叶斯公式吗？下面我给你来分析一下，像 你这个情况就是检查结果呈阳性，但是不知道是不是真得了这个病，对吧？”
小明点点头。
老张接着说：“现在情况是这样，检查结果阳性，这是前提条件，我们需要知道的是在阳性的条件下，真正的的病概率，就是 P（病|阳），后面表示已经发生的条件（呈阳性），竖杠前面表示在阳性前提下，得病的概率。其实我们真正关心的是有没有得病，而不是结果是不是阳性，对吧？”
小明表示听懂了，点头示意老张继续说。
老张接着说：“要知道这个概率，我们需要知道人群中所有检查呈阳性的概率，也就是P（阳），刚才你问过了是千分之一，也就是 P(阳)=0.001；然后呢，你还查过这个病在人群中发病的概率为万分之五，也就是P（病）=0.0005； 对吧？
再根据你的说的这机器的准确度，它把患病的人检测成为阳性的概率是百分之0.999， 请注意，这又是一个条件概率（见后注附加阅读），条件就是确认患病的情况下，结果呈阳性的概率；换句话说就是有一千个确实得了病的，跑来让这个机子来查，它会测出999个阳性，还有一个阴性，这就是你觉得机器很准的原因。
我们把这个条件概率记为：P（阳|病）=0.999，那么我们要知道的是P（病|阳），也就是你的情况，我肯定告诉你，P（病|阳）绝对不等于P（阳|病），我给你画个图你就明白了。”
接着，老张就花了下面这张图，小明一看就明白了：
“所以呢，你做为检测结果呈阳性里的一员，也就是所有红框内的2000人，真实发病的只有999人，好人1001个，你得病的概率连一半都不到。”老张指着图说。
小明大松一口气，：“这个破机器这么不准啊，那为什么他告诉我准确率是99.9%，这不是骗人吗？“
老张说:"倒也不能说是骗人，他们只是没告诉你前提条件，前提条件是你真要是得病了，检测结果呈阳性的几率是99.9%，这还算可以啦。"
小明说：”我都快被吓死了，多亏你来帮我分析。你怎么这么聪明啊，这么难转的弯儿都能绕明白，不愧是大学老师啊。“
老张说：”其实这是概率论里的一个著名公式，就是贝叶斯公式。但我直接给你说公式怕讲不明白，但我只要一画图你就明白了，下面就是这个公式。你看看。“
小明看了半天，又回去对着图看，才明白。”这公式真够别扭的。“
老张说：”没错，很多学生理解不了，就是因为这公式表达的不够直观。所以我推荐画图来说话：
第一步：画出一个长方形黑色方框代表总的人群数，取个好算的数字，这里取200万，后面你会明白。
第二步：在黑色长方形里面，分成两部分：绿色代表健康人，橘色代表发病的人。这是真实的统计概率，是再次验证过真的得病的那些人。在这里，P（病）=0.0005，1000人，而健康人是199000，这的确是个比较低的概率了。
第三步：在橘色框内，画一个红色的框，代表检测呈阳性的那些人，这里是99.9%，也就是999人，含义是：有一千个病人，送到机器前检查，机器会告诉你999个阳性，一个阴性。它搞错了1个。
第四步：很重要，别漏了！在绿色框内画一个红框，代表在健康人里面检测结果呈阳性的人，这一部分和刚才橘色内部的红框内的
人数总和 代表在200万人中，所有的检测结果呈阳性的人。这个数据就是P（阳）=0.001，即2000人。刚才说了，这里面真正有病的才999人，这个机器它把1001误诊了，给出了阳性的结果。所以，这个机器最大的问题不是在于有病的人检测不出来，而是会把许多健康的人检测成阳性。
第五步：特别简单了，所有的阳性为2000人，有病的才999人，那么你得病的概率是P（病|阳）=999/2000*100%=49.5%，还不到一半呢。
这也就是从所有呈阳性的结果里挑出得病的那些，道理其实特别简单的。其实找出所有呈阳性的人才是这个问题背后隐藏的真正信息。”
老张说完，小明就彻底明白了：“我要立刻去另一家医院再查一遍，这机器太不靠谱了。“
”对的，应该复查一下！即使在最坏的情况下，也不要轻易下悲观结论，概率问题隐藏着许多的猫腻，一不小心就会被他骗了。这里最重要的就是一定要搞清楚一件事情发生的前提条件才行。“老张最后又强调了一下。
结尾：小明又去医院复查了一次，他这次结果是阴性，那么最后的问题是：
检测结果为隐性的人，患病的概率多大呢？P（病|阴）结果就在图里哦！
算对的回复一下哈，证明你学会了。
再来个例题：
设某公路经过的货车与客车的数量之比为1:2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该车是货车的概率是多少？
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附加阅读：
条件概率：
设A, B是两个事件，且P(B)>0， 则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率(conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
全概率公式（formula of total probability)
将事件A分解成若干个小事件，通过求每个小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率。
这个A也就是贝叶斯公式后面隐藏的全部信息了。
