數學思想是指導解題的核心，是一種非常重要的思維推理模式。《考試大綱》中指出“數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重對數學能力的考査.＂這裡所講的數學思想主要有:函數與方程的思想、分類討論與整合的思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想這七大思想方法，如果再細分的話，對稱與對偶的思想、構造與建模的思想、統計與概率的思想、算法與程序(框圖)的思想也算是我們研究解題所呈現出來的一些思想，而這些思想中，放在首位的、最為突出的數學思想就是函數與方程的思想。“高考把函數與方程的思想作為思想方法的重點來考查，經常使用選擇題和填空題考查函數與方程思想的基本運算，面在解答題中，則從更深的層次在知識網絡的交匯點處、從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。”
那麼什麼是函數和方程的思想方法呢?
德國數學家F·克萊因有一句名言：“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考。”
函數思想，就是學會用變量和函數思考，就是從函數各個部分內容的內在聯繫和整體角度考慮問題，研究問題，解決問題，就是使用函數的方法研究解決函數的問題以及構建函數關係式來研究和解決非函數問題。
方程思想，就是學會轉化已知和未知的關係，解方程的過程就是求函數零點的過程，通過對解方程的研究和對方程根的研究考慮問題和解決問題。
也可以這樣理解：
所謂函數思想就是運用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關係。剔除問題中的非數學因素，抽象問題中的數學特徵，用函數的形式把這種數學關係表示出來，並加以研究，運用函數的性質使問題獲得解決的思想；
所謂方程思想，就是在解決問題時，把函數中數量間的量化關係看作方程，運用方程理論架設由已知探索未知的橋樑，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關係。
函數思想與方程思想是一個整體，運用函數與方程的思想方法解題，實質是對於所給的數學問題，從常規意外的其他不同的角度加以審視，看看此數學問題的解決與函數或方程是否有關聯，若有關聯，就可用函數與方程的有關性質求解。
函數的性質，就是我們通常講的奇偶性、週期性、單調性、對稱性四大性質。而方程的性質通常指解方程或解方程組過程中所運用的一整套理論，主要有消元法、代換法、判別式、韋達定理、主參變換等，而零點正是溝通兩者的一個重要的概念或者橋樑。
當然，一般所給出的數學問題從表面上看是非函數或非方程問題，這就要求我們對問題進行些轉化或顯化，使問題中函數與方程的特徵變得明顯，或實施某種構造，即把一個不是函數的問題根據要解決的問題的特徵及求解的目標，構造一個函數或看作一個方程，構造函數與方程的解題思路有著廣泛的應用。這也是當代數學中數學建模的主要作用。
巴甫洛夫 · 伊萬·彼德羅維奇有一句名言:“科學是以依賴於方法的進步程度為前提的，”這句話並不假.方法每前進一步，和每上一個臺階一樣，它會為我們展開更為廣的視野，因而看到前所未有的現象。從某種意義上講，學習數學就是掌握數學思想方法，一旦學會運用思想方法解題，會使你的數學學習收到事半功倍之效，開發靈性，深入數學的精髓。
就深入研究函數和方程思想的考查，其實主要是考查能不能用函數和方程思想指導解題，在用函數和方程思想指導解題時要經常思考下面一些問題：
（1）是不是想到把字母看作變量或把代數式看作函數；
例：
【分析】這是一個以遞推公式為背景的數列不等式，但是如果把遞推公式看做一個函數，就可以獲得一個很簡單的做法。
（2）是不是想到運用函數和方程的性質；
（3）是不是想到構造函數；
（4）是不是想到了把等式看做為一個未知的方程，是不是想到了對這個方程的根（虛實，正負，有無，以及範圍）有什麼要求；
以上是解題過程中就函數方程思想中需要經常考慮到的一些問題所在，這裡只做引出，後續就每個點，我們再做詳細的深入，敬請期待。
備註：
（1） F·克萊因（C·F·K1ein，1849.4.25-1925. 6.22）德國數學家，生於萊茵河畔的杜塞爾多夫。1865年入波恩大學。1870年與S·李（M。S。Lie），相伴去巴黎，共同研究變換群等問題。1872年，成為愛爾蘭根大學教授。1875-1886年間先後任慕尼黑工業大學和萊比錫大學教授。1886-l913年任哥丁根大學教授。1885年被選為英國皇家學會會員。1897年被選為法國科學院院士。1913年被選為普魯士科學院通訊院士。1925年卒於哥丁根。
F·克萊因在非歐幾何、連續群論、代數方程論、自守函數論等方面，都取得了傑出的成就。1872年，他在愛爾蘭根大學發表題為《關於近代幾何學研究的比較評述》的著名演講，用變換群做出了幾何學的分類。又把群的概念應用於自守函數、橢圓模函數、線性微分方程、阿貝爾函數等方面。他首先提倡改革中等教育的數學內容和方法，影響了近代的數學教育。在數學史方面，著有《l9世紀數學的發展》。對工程力學也有貢獻。長期擔任《數學年鑑》的編輯。1895年倡議編纂《數學百科全書》，併為之付出了大量勞動。F·克萊因的主要著作有《非歐幾何學》、《高等幾何學》、《橢圓函數論》、《二階線性微分方程》、《初等幾何若干問題》、《從高等數學的角度研究初等數學》等。
F·克萊因的成就是多方面的，但他的主要貢獻還是在幾何方面。他給出了羅巴切夫斯基非歐幾何一個簡單的直觀模型，把該幾何的相容性問題歸結為歐幾里得幾何的相容性問題，使得原來似乎複雜和難於接受的非歐幾何的思想變得易於理解，促使數學界承認了非歐幾何在數學中的合法地位。他仔細區分出兩類橢圓幾何，並給出單重橢圓幾何一個簡單直觀的曲面模型。他接受凱萊（A·Cayley）關於一般射影關係決定度量的思想，並將它推廣以至包括各種非歐幾何。他把凱萊絕對形的性質具體化，並應用類似於凱萊的距離和角度表達式，把羅巴切夫斯基度量幾何、黎曼非歐幾何（正的常曲率）、通常的歐幾里得度量幾何等統統納入射影幾何，從而成功地完成了各種度量幾何的統一工作，他的著名演講《關於近代幾何學研究的比較評述》所提出的幾何學群論觀點利用變換群作工具，以極為簡潔的方式給出了各種幾何學的統一定義，明確了各種幾何學的研究對象，作出了幾何學的分類。這不但使當時已經五彩紛呈、犬牙交錯的眾多幾何學化為統一的形式，而且也指明瞭建立抽象空間各種新的幾何學的一種方法。
F·克萊因的幾何學群論觀點是19世紀幾何學發展史上一次新的飛躍。它引導了其後50年左右的幾何學發展。人們把它譽為《愛爾蘭根綱領》而流傳於世，以至於逐漸淡忘了這篇著名演講的本來標題。談到F·克萊因，人們馬上就想到愛爾蘭根綱領；論及愛爾蘭根綱領，人們立刻回憶F·克萊因。F·克萊因，愛爾蘭根綱領，幾乎成了同義語。
（2）伊萬·彼德羅維奇·巴甫洛夫（（2）伊萬·彼德羅維奇·巴甫洛夫（ 俄文 ：Иван Петрович Павлов/ 英文 ：Ivan Petrovich Pavlov，1849年9月26日—1936年2月27日）， 俄國 生理學 家、 心理學 家、醫師、 高級神經活動 學說的創始人，高級神經活動生理學的奠基人。 條件反射 理論的建構者，也是傳統心理學領域之外而對心理學發展影響最大的人物之一，1936年2月27日，巴甫洛夫逝世。1904年，巴甫洛夫因在消化系統生理學方面取得的開拓性成就，獲得了諾貝爾生理學與醫學獎。他是俄國第一個獲得
諾貝爾獎 的科學家。
